PAU Madrid 2026 · Matemáticas II · Ordinaria
Pregunta 1: rango de una matriz con parámetro y ecuación matricial
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- a)A tiene rango 2 si λ = 1 o λ = 3 y rango 3 si λ ≠ 1 y λ ≠ 3: |A| = (λ − 1)(λ − 3) y un menor 2×2 vale 1.
- b)X tiene filas (2, 0, 0), (1, 0, 0) y (0, 0, 2) para λ = 2: de A² − AX = I se despeja X = A − A⁻¹.
Pregunta 1
Dada la matriz real A, se pide:
- a)Discutir el rango de A en función del parámetro λ. (1 p)
- b)Para el caso λ = 2, resolver la ecuación matricial A² − AX = I, donde I es la matriz identidad de orden 3. (1 p)
Fuente: Universidades públicas de la Comunidad de Madrid — PAU 2025-2026, Matemáticas II, ordinaria. Solución verificada con sus criterios.
Examen oficial en PDF (upm.es)Corregir con foto abre muy pronto
Dónde están los puntos
Así reparte el tribunal 2 puntos.
- 01a) Cálculo de los dos valores de λ para la discusión0,4
- 02a) Justificación de los valores de λ para rango 20,3
- 03a) Justificación de los valores de λ para rango 30,3
- 04b) Cálculo de la matriz inversa A⁻¹0,5
- 05b) Expresión correcta para calcular X0,3
- 06b) Respuesta correcta0,2
Criterio general: Aunque el procedimiento sea distinto al de las soluciones tipo, cualquier argumento válido que conduzca a la solución se valora con la puntuación asignada.
Inténtalo primero
Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.
Pista 1 · ¿Para qué valores de λ puede bajar el rango?
En a), empieza por det(A): solo los valores de λ que lo anulan pueden bajar el rango de 3. Para ellos, busca un menor de orden 2 que no se anule.
Pista 2 · En b), ¿cómo despejas X?
En b), despeja X antes de sustituir números y multiplica por A⁻¹ siempre por el mismo lado: el producto de matrices no es conmutativo.
Míralo en movimiento
Una figura interactiva de este ejercicio. Muévela antes o después de resolverlo.
Solución paso a paso
Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.
01a · Calcula det(A) y halla los dos valores de λ que lo anulanTribunal: cálculo de los dos valores de λ para la discusión0,4
El rango solo puede bajar de 3 donde el determinante se anula, así que empieza por det(A). Desarrolla por la primera columna, que tiene un cero, o aplica la regla de Sarrus: det(A) = 1 + (λ − 2)(λ − 1) − λ = λ² − 4λ + 3 = (λ − 1)(λ − 3). Se anula solo para λ = 1 y λ = 3: esos son los dos valores que hay que estudiar por separado.
02a · Justifica que el rango es 2 cuando λ = 1 o λ = 3Tribunal: justificación de los valores de λ para rango 20,3
Busca un menor de orden 2 que no dependa de λ. El formado por las dos primeras filas y las dos primeras columnas vale 1·1 − (λ − 2)·0 = 1, distinto de cero para cualquier λ, así que el rango es al menos 2 siempre. Si λ = 1 o λ = 3, el determinante de orden 3 es cero y este menor de orden 2 no lo es: rango 2. Escribe el menor explícitamente; sin él, el determinante nulo solo prueba que el rango es menor que 3.
03a · Justifica que el rango es 3 en el resto de casosTribunal: justificación de los valores de λ para rango 30,3
Si λ ≠ 1 y λ ≠ 3, det(A) = (λ − 1)(λ − 3) ≠ 0: el menor de orden 3, que es el propio determinante de A, no se anula y el rango es 3, el máximo para una matriz 3 × 3. Cierra la discusión con los dos casos juntos: rango 2 para λ = 1 y λ = 3, y rango 3 para cualquier otro valor real de λ.
04b · Despeja X respetando el orden del productoTribunal: expresión correcta para calcular X0,3
Para λ = 2, det(A) = (2 − 1)(2 − 3) = −1 ≠ 0, así que A es invertible. De A² − AX = I se obtiene AX = A² − I. Multiplica los dos miembros por A⁻¹ por la izquierda: X = A⁻¹(A² − I) = A − A⁻¹. El orden importa porque el producto de matrices no es conmutativo en general: si multiplicas AX por A⁻¹ por la derecha obtienes AXA⁻¹, que no es X.
05b · Calcula la inversa de A para λ = 2Tribunal: cálculo de la matriz inversa A⁻¹0,5
Con λ = 2, las filas de A son (1, 0, 2), (0, 1, 1) y (1, 0, 1), y |A| = −1. Puedes reducir (A | I) por Gauss o usar la traspuesta de la matriz de adjuntos dividida por |A|; la matriz de adjuntos tiene filas (1, 1, −1), (0, −1, 0) y (−2, −1, 1). Los dos caminos dan A⁻¹ con filas (−1, 0, 2), (−1, 1, 1) y (1, 0, −1). Comprueba que A·A⁻¹ = I antes de seguir: un error aquí arrastra todo el apartado.
06b · Calcula X y compruébala en la ecuaciónTribunal: respuesta correcta0,2
Resta entrada a entrada: X = A − A⁻¹ tiene filas (2, 0, 0), (1, 0, 0) y (0, 0, 2). Para comprobarlo, sustituye en la ecuación original: A² tiene filas (3, 0, 4), (1, 1, 2) y (2, 0, 3), y AX tiene filas (2, 0, 4), (1, 0, 2) y (2, 0, 2). Su diferencia es I, así que el despeje y el cálculo de X son correctos.
Error típico
Dar rango 2 solo porque el determinante se anula
Lo que se suele escribir: |A| = 0 basta para rg(A) = 2. Lo correcto: |A| = 0 y un menor 2×2 ≠ 0 ⇒ rg(A) = 2
Es habitual ver que det(A) = 0 para λ = 1 y λ = 3 y escribir directamente «rango 2». Pero un determinante nulo solo demuestra que el rango es menor que 3: podría ser 1. Para concluir rango 2 tienes que mostrar un menor de orden 2 no nulo, como el de las dos primeras filas y columnas, que vale 1 para todo λ.
Cuesta los puntos de «justificación de los valores de λ para rango 2»: 0,3 puntos de 2.
Márcate con los criterios del tribunal
Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.
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Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?
2 puntos de 10. Es obligatoria: la hace todo el mundo.
¿Me lo puntúan si lo hago de otra forma?
Sí. Según los criterios generales del examen: «Aunque el procedimiento sea distinto al de las soluciones tipo, cualquier argumento válido que conduzca a la solución se valora con la puntuación asignada.»
¿La solución es oficial?
No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.
¿Dónde está el enunciado original?
En el PDF oficial (upm.es): el enunciado en la página 1 y los criterios de corrección en la página 4.
Fuente
Universidades públicas de la Comunidad de Madrid — PAU 2025-2026, Matemáticas II, ordinaria. Publicado en upm.es, consultado el 15 de septiembre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.