PAU Madrid 2027 · Matemáticas II · Modelo, no convocatoria celebrada
Pregunta 4.1: discusión y resolución de un sistema con parámetro
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- a)Compatible determinado si a ≠ 1 y a ≠ −2, compatible indeterminado si a = 1 e incompatible si a = −2, según los rangos.
- b)(x, y, z) = (1/4 − λ, 1/4 + 2λ, λ), con λ ∈ ℝ: con a = 1, el determinante de los coeficientes, −4(a − 1)(a + 2), se anula y quedan dos ecuaciones.
Pregunta 4.1
Dado el sistema de ecuaciones formado por (a + 2)x + y + z = a, x − ay + 3z = 0 y 3x + ay + z = 1, se pide:
- a)Discutir el sistema en función del parámetro a. (1 p)
- b)Resolver el sistema para a = 1. (1 p)
Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2027 · Modelo orientativo · Matemáticas II · UAM. Solución verificada con sus criterios.
Examen oficial en PDF (uam.es)Corregir con foto abre muy pronto
Dónde están los puntos
Así reparte el tribunal 2 puntos.
- 01a) Cálculo de los valores de a para la discusión0,2
- 02a) Discusión del caso compatible determinado0,2
- 03a) Discusión correcta del caso a = 10,3
- 04a) Discusión correcta del caso a = −20,3
- 05b) Sistema de ecuaciones a resolver correcto0,2
- 06b) Aplicación de un método de resolución de sistemas0,4
- 07b) Respuesta correcta0,4
Criterio general: En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.
Inténtalo primero
Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.
Pista 1 · ¿Por dónde empezar la discusión?
Calcula el determinante de la matriz de coeficientes y busca sus raíces.
Pista 2 · ¿Qué comparar en cada valor crítico?
Para cada raíz, compara el rango de la matriz de coeficientes con el de la ampliada (teorema de Rouché-Frobenius). En b), quédate con las ecuaciones independientes y toma una incógnita como parámetro.
Solución paso a paso
Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.
01a · Calcula |M| y halla los valores de a que lo anulanTribunal: cálculo de los valores de a para la discusión0,2
La matriz de coeficientes M tiene filas (a + 2, 1, 1), (1, −a, 3) y (3, a, 1). Desarrollando por la primera fila: |M| = (a + 2)(−a − 3a) − 1·(1 − 9) + 1·(a + 3a) = −4a² − 8a + 8 + 4a = −4a² − 4a + 8 = −4(a − 1)(a + 2). Se anula en a = 1 y en a = −2: son los dos valores que hay que estudiar aparte. Vigila los signos del término en a²: un error ahí cambia los valores críticos y arrastra toda la discusión.
02a · Discute el caso a ≠ 1 y a ≠ −2Tribunal: discusión del caso compatible determinado0,2
Si a ≠ 1 y a ≠ −2, |M| ≠ 0, así que rg M = 3. La ampliada M* tiene solo tres filas, de modo que su rango tampoco pasa de 3: rg M = rg M* = 3, el número de incógnitas. Por el teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es compatible determinado, con solución única.
03a · Compara los rangos de M y M* para a = 1Tribunal: discusión correcta del caso a = 10,3
Con a = 1, el sistema queda 3x + y + z = 1, x − y + 3z = 0, 3x + y + z = 1. La primera y la tercera ecuación son idénticas, términos independientes incluidos, así que la tercera fila de M* repite la primera y no aumenta el rango. El menor de filas (3, 1) y (1, −1) vale −4 ≠ 0, luego rg M = rg M* = 2 < 3: sistema compatible indeterminado, con un parámetro (infinitas soluciones).
04a · Compara los rangos de M y M* para a = −2Tribunal: discusión correcta del caso a = −20,3
Con a = −2, M tiene filas (0, 1, 1), (1, 2, 3) y (3, −2, 1), y los términos independientes son (−2, 0, 1). Como |M| = 0 y el menor de filas (0, 1) y (1, 2) vale −1 ≠ 0, rg M = 2. En la ampliada, el menor formado por las columnas de x, de y y de los términos independientes, de filas (0, 1, −2), (1, 2, 0) y (3, −2, 1), vale 15 ≠ 0. Así, rg M* = 3 ≠ rg M = 2: el sistema es incompatible, no tiene solución.
05b · Sustituye a = 1 y quédate con las ecuaciones independientesTribunal: sistema de ecuaciones a resolver correcto0,2
Con a = 1, las tres ecuaciones son 3x + y + z = 1, x − y + 3z = 0 y 3x + y + z = 1. Por el apartado a), el sistema es compatible indeterminado con rango 2, y la tercera ecuación repite la primera, así que basta con resolver 3x + y + z = 1 y x − y + 3z = 0. Con dos ecuaciones y tres incógnitas, una de ellas hará de parámetro.
06b · Toma z = λ, resuelve y comprueba la soluciónTribunal: aplicación de un método de resolución de sistemas · respuesta correcta0,8
Toma z = λ. Sumando las dos ecuaciones desaparece y: 4x + 4λ = 1, de donde x = 1/4 − λ; de la segunda, y = x + 3λ = 1/4 + 2λ. Solución: (x, y, z) = (1/4 − λ, 1/4 + 2λ, λ), con λ ∈ ℝ. Comprobación: 3(1/4 − λ) + (1/4 + 2λ) + λ = 1 y (1/4 − λ) − (1/4 + 2λ) + 3λ = 0, para cualquier λ.
Error típico
Deducir «compatible indeterminado» solo de |M| = 0
Lo que se suele escribir: a = −2: compatible indeterminado. Lo correcto: a = −2: incompatible (rg M* = 3)
Concluir «compatible indeterminado» en cuanto |M| = 0. Un determinante nulo solo dice que rg M < 3: para distinguir compatible indeterminado de incompatible hay que estudiar también el rango de la ampliada. Aquí los dos valores críticos dan casos distintos: en a = 1 la ampliada mantiene rango 2, pero en a = −2 sube a 3 y el sistema no tiene solución. Calcula rg M y rg M* en cada valor.
Cuesta los puntos de «discusión correcta del caso a = −2»: 0,3 puntos de 2.
Márcate con los criterios del tribunal
Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.
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Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?
2 puntos de 10. En la pregunta 4 eliges una de dos opciones: la 4.1 o la 4.2.
¿Me lo puntúan si lo hago de otra forma?
Sí. Según los criterios generales del examen: «En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.»
¿La solución es oficial?
No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.
¿Esta pregunta salió en la PAU?
No. Es del modelo de examen 2027 que publican las universidades para preparar la prueba: es un modelo, no una convocatoria celebrada.
¿Dónde está el enunciado original?
En el PDF oficial (uam.es): el enunciado en la página 2 y los criterios de corrección en la página 3.
Fuente
Universidades públicas de Madrid · PAU 2027 · Modelo orientativo · Matemáticas II · UAM. Publicado en uam.es, consultado el 18 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 18 de octubre de 2026.