Saltar al contenido
Aprueba tu Selectividad
Empieza a estudiar · muy pronto
Aprueba tu Selectividad
Menú
Aprueba tu Selectividad
Empieza a estudiar · muy pronto

Concepto · Álgebra · Matemáticas II

Rango de una matriz: qué es, cómo se calcula y cómo se discute

En breve

El rango de una matriz es el número máximo de filas, o de columnas, linealmente independientes; si no es nula, es el orden de su mayor menor no nulo. Se calcula con menores o por Gauss y, con un parámetro y un determinante no idénticamente nulo, se estudia aparte cada valor que lo anula.

Dicho con precisión

El rango de una matriz A, rg A, es el número máximo de filas linealmente independientes, que es el mismo que el de columnas. Si A no es nula, coincide con el orden del mayor menor no nulo: rg A = r si hay un menor de orden r distinto de cero y todos los de orden r + 1 son nulos; la matriz nula tiene rango 0. Si A es cuadrada de orden n, rg A = n si y solo si det A ≠ 0.

A cuadrada de orden n:rg⁡A=n⟺det⁡A≠0

Míralo en movimiento

Es la figura del ejercicio 1 de la ordinaria de Madrid 2026: las tres filas de la matriz son varillas que forman una caja cuyo volumen es el valor absoluto del determinante. Al girar el dial del parámetro, en dos valores la caja se aplasta en un plano y el rango baja.

Abrir la figura a pantalla completa

Cómo se aplica, paso a paso

Con un ejemplo, y escrito como hay que escribirlo en el examen para que puntúe.

Ejemplo

Estudia el rango de la matriz A, de filas (1, 1, k), (1, k, 1) y (k, 1, 1), según los valores del parámetro real k.

  1. Calcula el determinante de A y factorízalo

    A es cuadrada de orden 3, así que su rango es 3 justo cuando det A ≠ 0: empieza por el determinante. Con la regla de Sarrus, los productos que suman son k + k + k y los que restan, k³ + 1 + 1, de modo que det A = −k³ + 3k − 2. Como k = 1 lo anula, Ruffini permite factorizarlo: det A = −(k − 1)²(k + 2).

    det⁡A=|11k1k1k11|=−k3+3k−2=−(k−1)2(k+2)

  2. Separa los valores que anulan el determinante

    El determinante solo se anula para k = 1 y k = −2. Para cualquier otro valor, det A ≠ 0 y el rango es el máximo posible: rg A = 3 si k ≠ 1 y k ≠ −2. Los dos valores críticos se estudian por separado, sustituyendo cada uno en la matriz: un determinante nulo solo dice que el rango es menor que 3, no cuánto vale.

  3. Para k = −2, busca un menor de orden 2 no nulo

    Con k = −2, las filas son (1, 1, −2), (1, −2, 1) y (−2, 1, 1). El menor de las dos primeras filas y las dos primeras columnas vale 1·(−2) − 1·1 = −2 − 1 = −3, distinto de cero, así que el rango es al menos 2. Al orlarlo con la fila y la columna que faltan se obtiene el propio det A, que es 0. Por tanto, rg A = 2 si k = −2.

    |111−2|=−3≠0

  4. Para k = 1, comprueba si el rango baja aún más

    Con k = 1, las tres filas son iguales a (1, 1, 1): cualquier menor de orden 2 tiene dos filas iguales y vale 0. Como la matriz no es nula, tiene algún menor de orden 1 distinto de cero, y rg A = 1 si k = 1. Este caso enseña por qué hay que estudiar cada valor: el determinante es cero en los dos, pero el rango no es el mismo.

  5. Comprueba la discusión con el método de Gauss

    Haz ceros debajo del primer elemento: F₂ − F₁ da (0, k − 1, 1 − k) y F₃ − k·F₁ da (0, 1 − k, 1 − k²). Sumando la nueva segunda fila a la tercera queda (0, 0, −(k − 1)(k + 2)). El rango es el número de filas no nulas de la forma escalonada: tres si k ≠ 1 y k ≠ −2, dos si k = −2 y una si k = 1, porque entonces también se anula la segunda.

    A∼(11k0k−11−k00−(k−1)(k+2))

Errores típicos

  • Concluir rango 2 solo porque el determinante es cero

    det A = 0 solo demuestra que el rango de una matriz 3 × 3 es menor que 3. En el ejemplo, para k = 1 el rango es 1. Para escribir rango 2 tienes que mostrar un menor de orden 2 distinto de cero, con sus números.

  • Dividir o multiplicar una fila por una expresión del parámetro

    En Gauss con parámetro, dividir una fila entre k − 1 no está definido si k = 1, y multiplicarla por k la anula si k = 0, lo que puede cambiar el rango: no son operaciones válidas para esos valores. Usa operaciones del tipo «fila más un múltiplo de otra», que valen para cualquier k, o estudia aparte el valor que anula el factor.

  • Rendirse ante el primer menor nulo

    Que un menor de orden 2 valga 0 no dice que el rango sea 1: puede haber otro distinto de cero. El rango es el orden del mayor menor no nulo, así que basta con encontrar uno. Prueba con otras filas y columnas antes de concluir que todos se anulan.

Ejercicios reales de la PAU

4 ejercicios resueltos de la PAU que lo usan, con el enunciado oficial, los criterios del tribunal y la solución paso a paso.

Empieza a estudiar · muy pronto

Corregir con foto abre muy pronto

Otros conceptos

Preguntas frecuentes

¿El rango por filas y el rango por columnas son el mismo?

Sí, siempre. El número máximo de filas linealmente independientes coincide con el de columnas, y por eso una matriz y su traspuesta tienen el mismo rango. Puedes trabajar con filas o con columnas según te convenga.

¿Qué significa orlar un menor?

Ampliar un menor no nulo de orden r con una fila y una columna más, para formar menores de orden r + 1. Si todos los que se obtienen al orlarlo son nulos, el rango es r y no hace falta calcular el resto de menores de orden r + 1. Ahorra cuentas en matrices que no son cuadradas.

¿Uso menores o el método de Gauss?

Los dos son válidos y dan el mismo rango. Con una matriz cuadrada y un parámetro, el determinante suele localizar de una vez los valores críticos: si no es idénticamente nulo, el rango es máximo salvo en los valores que lo anulan, y esos se estudian aparte. Si se anula para todo valor del parámetro, sigue con menores de orden menor o con Gauss. Gauss es cómodo con matrices numéricas o rectangulares, pero con parámetro no dividas entre una expresión que pueda anularse.

¿Para qué sirve el rango al discutir un sistema?

Por el teorema de Rouché-Frobenius, un sistema es compatible si y solo si el rango de la matriz de coeficientes coincide con el de la ampliada. Si además ese rango es igual al número de incógnitas, es compatible determinado; si es menor, indeterminado. Si los rangos son distintos, es incompatible. Por eso, en cada valor crítico hay que calcular los dos rangos.

¿Qué ejercicios de la PAU puedo practicar?

Los 4 ejercicios resueltos de esta página: la 1 de la ordinaria de 2026 de Matemáticas II (Madrid), la 4.1 del modelo de 2027 de Matemáticas II (Madrid), la 4.2 del modelo de 2026 de Matemáticas II (Madrid) y la 1.1 del modelo de 2025 de Matemáticas II (Madrid). Cada uno enlaza a su enunciado oficial, los criterios del tribunal y la solución paso a paso.

Fuente

Explicación de elaboración propia, verificada y actualizada el 18 de octubre de 2026. Los ejercicios son de exámenes oficiales de la PAU: cada uno cita su fuente y sus criterios.