Concepto · Probabilidad · Matemáticas II y Matemáticas CCSS II
Teorema de Bayes: fórmula, árbol y probabilidades a posteriori
En breve
El teorema de Bayes da la probabilidad de cada hipótesis Aᵢ de un sistema completo sabiendo que ha ocurrido un suceso B: P(Aᵢ | B) = P(Aᵢ)·P(B | Aᵢ)/P(B), con P(B) calculada por la probabilidad total. Así se pasa de la probabilidad a priori, P(Aᵢ), a la probabilidad a posteriori, P(Aᵢ | B).
Dicho con precisión
Sean A₁, A₂, …, Aₙ un sistema completo de sucesos (incompatibles dos a dos y cuya unión es el espacio muestral), todos con probabilidad positiva, y B un suceso con P(B) > 0. Entonces, para cada i, P(Aᵢ | B) = P(Aᵢ)·P(B | Aᵢ)/P(B), donde, por el teorema de la probabilidad total, P(B) = P(A₁)·P(B | A₁) + … + P(Aₙ)·P(B | Aₙ).
Míralo en movimiento
Es la figura del ejercicio 1 de la extraordinaria de Madrid 2026, un problema de Bayes: 400 bolas, una por alumno, caen en cuatro depósitos según dónde vive y si llega tarde. Al saber que ha llegado puntual, se cierran los de llegar tarde y quedan 368 bolas, 45 de fuera: 45/368.
Cómo se aplica, paso a paso
Con un ejemplo, y escrito como hay que escribirlo en el examen para que puntúe.
Ejemplo
Una tienda envía sus paquetes con tres empresas: la 1 lleva el 50 %; la 2, el 30 %, y la 3, el 20 %. Llega dañado el 1 %, el 2 % y el 7 % de los paquetes de cada una, respectivamente. Halla la probabilidad de que un paquete elegido al azar llegue dañado y, si es así, la de que sea de cada empresa.
Nombra los sucesos y separa lo que se sabe de lo que se pide
Llama Eᵢ al suceso «el paquete lo lleva la empresa i», para i = 1, 2, 3, y D a «el paquete llega dañado». Cada paquete lo lleva una y solo una de las tres empresas, así que E₁, E₂ y E₃ forman un sistema completo de sucesos, y sus probabilidades a priori suman 1: P(E₁) = 0,5; P(E₂) = 0,3 y P(E₃) = 0,2. El 1 %, el 2 % y el 7 % se refieren solo a los paquetes de una empresa: son condicionadas, P(D | E₁) = 0,01; P(D | E₂) = 0,02 y P(D | E₃) = 0,07. Se piden P(D) y P(Eᵢ | D); en la segunda, lo que ya se sabe, que el paquete está dañado, va detrás de la barra.
Dibuja el árbol y calcula los caminos que acaban en D
En el árbol, la primera rama es la empresa, con su probabilidad a priori, y la segunda, si el paquete llega dañado o no, con su probabilidad condicionada. La probabilidad de un camino es el producto de sus ramas: P(E₁ ∩ D) = 0,5·0,01 = 0,005; P(E₂ ∩ D) = 0,3·0,02 = 0,006 y P(E₃ ∩ D) = 0,2·0,07 = 0,014. Son intersecciones, probabilidades sobre todos los paquetes, y van a ser los numeradores del teorema de Bayes.
Calcula el denominador con la probabilidad total
Un paquete dañado ha llegado por uno de los tres caminos, que no se solapan, así que P(D) es su suma. Escribe la fórmula con los sucesos y el nombre del teorema antes de sustituir: por el teorema de la probabilidad total, P(D) = P(E₁)·P(D | E₁) + P(E₂)·P(D | E₂) + P(E₃)·P(D | E₃) = 0,005 + 0,006 + 0,014 = 0,025. Es decir, llega dañado el 2,5 % de los paquetes.
Divide cada camino entre P(D): el teorema de Bayes
Escribe «por el teorema de Bayes» y la fórmula con letras, P(Eᵢ | D) = P(Eᵢ)·P(D | Eᵢ)/P(D). El numerador es el camino de cada empresa, y el denominador, el mismo para las tres, es la probabilidad total del paso anterior: P(E₁ | D) = 0,005/0,025 = 0,2; P(E₂ | D) = 0,006/0,025 = 0,24 y P(E₃ | D) = 0,014/0,025 = 0,56. Responde con una frase: sabiendo que el paquete ha llegado dañado, la probabilidad de que lo haya llevado la empresa 3 es 0,56, la mayor de las tres.
Comprueba que suman 1 y compáralas con las a priori
Las tres probabilidades a posteriori se reparten un mismo total, los paquetes dañados, así que tienen que sumar 1: 0,2 + 0,24 + 0,56 = 1. Compáralas con las a priori, 0,5; 0,3 y 0,2. La empresa 3 lleva la menor parte de los paquetes, pero su proporción de dañados es tan alta que su camino, 0,014, es el mayor de los tres: saber que el paquete está dañado la convierte en la más probable. En porcentaje, la empresa 3 ha llevado el 56 % de los paquetes dañados.
Errores típicos
Confundir P(E₃ | D) con P(D | E₃)
P(D | E₃) = 0,07 es la proporción de dañados entre los paquetes de la empresa 3; P(E₃ | D) = 0,56, la proporción de paquetes de la empresa 3 entre los dañados. Responden a preguntas distintas y aquí son muy diferentes. Lo que se sabe que ha ocurrido va detrás de la barra: escribe con letras la probabilidad que se pide antes de buscar ningún número.
Quedarse en el numerador o dividir entre la probabilidad a priori
P(E₃ ∩ D) = 0,014 es la probabilidad de que un paquete cualquiera sea de la empresa 3 y llegue dañado: todavía no es la respuesta. Tampoco se divide entre P(E₃): 0,014/0,2 = 0,07 solo devuelve el dato P(D | E₃). Como ya se sabe que el paquete está dañado, el nuevo total son los dañados, y se divide entre P(D) = 0,025.
Mezclar porcentajes y probabilidades en la misma cuenta
Pasa cada porcentaje a probabilidad antes de operar: el 7 % es 0,07. Si en el numerador pones 7 en lugar de 0,07, sale 0,2·7/0,025 = 56, una «probabilidad» mayor que 1. Opera con probabilidades, que están entre 0 y 1, y al final da el resultado como lo pida el enunciado: 0,56 como probabilidad o el 56 % si pide un porcentaje.
Dejarse un camino en la probabilidad total
Con tres empresas, P(D) tiene tres sumandos, uno por cada camino del árbol que acaba en D. Si te dejas uno, el denominador se queda corto y las tres probabilidades a posteriori, calculadas con él, suman más de 1. Por eso conviene sumarlas al final: si no da 1, falta o sobra algún sumando en el denominador o hay un error de cuentas.
Ejercicios reales de la PAU
16 ejercicios resueltos de la PAU que lo usan, con el enunciado oficial, los criterios del tribunal y la solución paso a paso.
- Madrid 2026 · Ordinaria · 4.12,5 puntosSean A, B y C tres sucesos de los que se conoce la siguiente información: P(A) = 0,4, P(B) = 0,6, P(C) = 0,5, P(A | C) = 0,6, P(B | C) = 0,8, P(A ∩ B | C) = P(A | C)·P(B | C) y P(A ∩ B | Cᶜ) = 0,08. Nota: Sᶜ denota el suceso complementario (contrario) del suceso S.
- Madrid 2026 · Ordinaria · 4.22,5 puntosEn un laboratorio farmacéutico se realiza un test de control de calidad para detectar productos defectuosos antes de su distribución. Se conoce la siguiente información: el 3 % de los productos presenta un defecto grave, el 7 % un defecto leve y el resto no presenta defectos; si el defecto es grave, el test da positivo el 98 % de las veces; si el defecto es leve, el test da positivo el 80 % de las veces; si el producto no tiene defectos, el test da positivo el 5 % de las veces.
- Madrid 2026 · Ordinaria · incidencias · 2.12,5 puntosTenemos una baraja de dorso azul que contiene 60 cartas de diamantes y 40 cartas de tréboles y otra baraja de dorso verde que contiene 30 cartas de diamantes y 70 cartas de tréboles. Además, tenemos una bolsa con 2 bolas azules y 4 bolas verdes. Se saca una bola de la bolsa. Si la bola es azul, se saca una carta al azar de la baraja azul. Si la bola es verde, se saca una carta al azar de la baraja de dorso verde.
- Madrid 2026 · Extraordinaria · 3.12,5 puntosSe está realizando un estudio sobre la utilización de IA por parte de los estudiantes universitarios en la elaboración de trabajos académicos. En dicho estudio participan un 30 % de estudiantes de Humanidades, un 45 % de estudiantes de Ciencias y un 25 % de estudiantes de Derecho. Además, por estudios anteriores, se estima que, en Humanidades el 15 % de los estudiantes utilizan la IA, en Ciencias el 5 % y en Derecho el 25 %.
- Madrid 2026 · Extraordinaria · 12 puntosEl 85 % de los alumnos de un instituto viven en la misma localidad en la que se sitúa el centro educativo y el resto en pueblos de alrededor. El 75 % de los alumnos que acuden al instituto desde fuera de la localidad llegan puntuales a clase por la mañana y el 5 % de los alumnos que viven en la misma localidad que el centro llegan tarde a primera hora.
- Madrid 2026 · Extraordinaria · incidencias · 3.22,5 puntosSusana tiene dos cuentas en una red social: una personal y la otra de su marca de cosmética natural. Solo el 20 % de las publicaciones las hace en su cuenta personal. En la cuenta de la marca de cosmética solo el 50 % de las publicaciones recibe más de 100 likes, mientras que este porcentaje es del 70 % en su cuenta personal.
- Madrid 2026 · Extraordinaria · incidencias · 12 puntosUn virus estomacal presenta como síntomas diarreas y fiebres en un 95 % de los infectados. En un momento de presión asistencial en la Comunidad de Madrid, 40 de cada mil habitantes están infectados por dicho virus. Por otro lado, un 0,5 % de la población no infectada por el virus presenta los mismos síntomas por otras causas.
- Madrid 2025 · Ordinaria · 4.12,5 puntosEn un concesionario el 50 % de sus ventas son de automóviles microhíbridos, el 35 % híbridos y el resto eléctricos enchufables. El acabado más alto de gama se vende en el 80 % de los eléctricos enchufables, el 60 % de los híbridos y el 45 % de los microhíbridos. Se selecciona una operación de venta al azar.
- Madrid 2025 · Ordinaria · 4.22,5 puntosEntre los ciudadanos de 14 años o más de cierto país, el 20 % de la población tiene entre 14 y 24 años, el 50 % entre 25 y 64 y el resto más de 64 años. Según datos recogidos por el ministerio de cultura de ese país, el 74 % de sus ciudadanos de entre 14 y 24 es lector habitual, mientras que el porcentaje decrece hasta el 65,8 % entre los de 25 a 64 y al 53,7 % entre los mayores de 64. Elegido un ciudadano al azar del país en cuestión de 14 años o más, se pide:
- Madrid 2025 · Ordinaria · incidencias · 4.22,5 puntosLos clientes potenciales de un comercio local, Mitienda, vienen de alguno de los municipios M₁, M₂ o M₃. En M₁ el 20 % de la población compra en Mitienda, siendo estos porcentajes del 10 % en M₂ y del 8 % en M₃. Además se sabe que el 50 % de la población vive en M₁, el 30 % en M₂ y el 20 % en M₃.
- Madrid 2025 · Extraordinaria · 4.22,5 puntosEn una clínica veterinaria se utiliza una prueba médica para detectar la insuficiencia renal en gatos adultos. Se sabe lo siguiente: el porcentaje de gatos adultos con insuficiencia renal es del 5 %; si el gato adulto tiene insuficiencia renal, la prueba da positivo el 90 % de las veces; y si el gato adulto no tiene insuficiencia renal, la prueba da positivo el 10 % de las veces.
- Madrid 2025 · Extraordinaria · 4.22,5 puntosLa probabilidad de que un corredor sufra una caída en un día con lluvia es de 0,08 y en un día seco es de 0,004. La probabilidad de que llueva y se caiga es de 0,032. Hoy un corredor ha salido. Se pide:
- Madrid 2025 · Extraordinaria · incidencias · 4.22,5 puntosUn ayuntamiento ha sacado a concurso una convocatoria para la construcción de un Centro de Salud de Atención Primaria. Al concurso se han presentado tres constructoras, Horizon, Vértice XXI y CuadraNova, que tienen una probabilidad de conseguir el contrato de 0,5; 0,3 y 0,2 respectivamente. La probabilidad de que el Centro de Salud esté terminado en la fecha prevista es de 0,6 si la obra se le encarga a Horizon, 0,2 si se le adjudica a Vértice XXI y 0,9 si la realiza CuadraNova.
- Madrid 2027 · Modelo · 3.22,5 puntosEn la plantilla de un equipo de balonmano de la liga Asobal se sabe que el 50 % de los jugadores son nacionales, el 40 % son comunitarios y el 10 % restante extracomunitarios. Se sabe que la probabilidad de que un jugador sea elegido para jugar en su selección nacional es del 80 % si el jugador es nacional, del 50 % si el jugador es comunitario y del 40 % si el jugador es extracomunitario.
- Madrid 2026 · Modelo · 4.22,5 puntosEn una comunidad de vecinos se ha realizado una votación para analizar la conveniencia de instalar placas solares como medida de ahorro energético. El 26 % de los propietarios votaron en blanco y el resto se repartieron por igual entre los favorables a esta medida y los que votaron en contra. Un 10 % de los que votaron en blanco son propietarios que tienen la vivienda alquilada. Entre los propietarios favorables a esta medida, un 18 % también la tienen alquilada y solo un 5 % la tienen alquilada entre los propietarios que votaron en contra. Como no hay voluntarios, el presidente de la Comunidad para el próximo año se elegirá por sorteo entre los propietarios de todas las viviendas.
- Madrid 2025 · Modelo · 4.22,5 puntosEn los premios Grammy Latino, se sabe que el 40 % de los artistas nominados en la categoría de Mejor Álbum del Año son dúos, el 30 % son grupos musicales (más de dos artistas) y el 30 % son solistas. Además, se ha observado que el 20 % de los dúos, el 15 % de los grupos musicales y el 25 % de los solistas nominados han ganado el premio de Mejor Álbum del Año. Eligiendo al azar un artista nominado al Mejor Álbum del Año, y sabiendo que en este concurso los artistas solo pueden presentarse por una de las tres categorías musicales, calcule la probabilidad de que:
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Preguntas frecuentes
¿Qué son las probabilidades a priori y a posteriori?
La probabilidad a priori de una hipótesis Aᵢ, P(Aᵢ), es la que tiene antes de saber nada del resultado; la a posteriori, P(Aᵢ | B), la que tiene una vez que se sabe que ha ocurrido B. El teorema de Bayes pasa de una a otra: multiplica la a priori por P(B | Aᵢ) y divide entre P(B). En el ejemplo de los paquetes, las a priori 0,5; 0,3 y 0,2 pasan a ser 0,2; 0,24 y 0,56.
¿Cómo sé que un problema se resuelve con el teorema de Bayes?
Cuando los datos dan la probabilidad de cada hipótesis Aᵢ y la de un suceso B dentro de cada una, P(B | Aᵢ), y la pregunta da B por ocurrido y pide la probabilidad de una hipótesis, con expresiones como «sabiendo que…», «si se sabe que…» o «si ha resultado…». Lo conocido pasa a ir detrás de la barra, al revés que en los datos. Si en cambio se pregunta por B sin saber nada más, basta con la probabilidad total.
¿Se puede resolver contando casos en lugar de usar la fórmula?
Sí, y sirve para comprobar. Imagina un lote de 1000 paquetes que cumple exactamente los porcentajes: 500 son de la empresa 1, 300 de la 2 y 200 de la 3, y llegan dañados 5 de la empresa 1, 6 de la 2 y 14 de la 3. Hay 25 paquetes dañados y 14 son de la empresa 3: P(E₃ | D) = 14/25 = 0,56. Es la misma cuenta que la fórmula, con el numerador y el denominador multiplicados por 1000. En el examen, escribe también la fórmula con los sucesos: es lo que justifica la división.
¿Por qué las probabilidades a posteriori tienen que sumar 1?
Porque, sabiendo que el paquete está dañado, lo ha llevado una y solo una de las tres empresas: E₁, E₂ y E₃ siguen repartiéndose todos los casos posibles, ahora solo los de D. En las cuentas se ve igual: los tres numeradores suman exactamente el denominador, P(D). Si te salen sumando otra cosa, falta o sobra algún camino en el denominador, o hay un error de cuentas.
¿Y si se sabe que el paquete ha llegado bien?
Entonces la condición es Dᶜ, el contrario de D, y en la fórmula entran las probabilidades del contrario. Para la empresa 3, P(Dᶜ | E₃) = 1 − 0,07 = 0,93, así que el numerador es 0,2·0,93 = 0,186, y el denominador es P(Dᶜ) = 1 − 0,025 = 0,975. Queda P(E₃ | Dᶜ) = 0,186/0,975 ≈ 0,1908, algo menos que su probabilidad a priori, 0,2: saber que el paquete ha llegado bien hace un poco menos probable la empresa con más paquetes dañados. No uses aquí 0,07 ni 0,025, que son probabilidades de D.
¿Qué ejercicios de la PAU puedo practicar?
Los 16 ejercicios resueltos de esta página: la 4.1 de la ordinaria de 2026 de Matemáticas CCSS II (Madrid), la 4.2 de la ordinaria de 2026 de Matemáticas CCSS II (Madrid), la 2.1 de la ordinaria · incidencias de 2026 de Matemáticas CCSS II (Madrid), la 3.1 de la extraordinaria de 2026 de Matemáticas CCSS II (Madrid), la 1 de la extraordinaria de 2026 de Matemáticas II (Madrid) y la 3.2 de la extraordinaria · incidencias de 2026 de Matemáticas CCSS II (Madrid) y otros. Cada uno enlaza a su enunciado oficial, los criterios del tribunal y la solución paso a paso.
Fuente
Explicación de elaboración propia, verificada y actualizada el 18 de octubre de 2026. Los ejercicios son de exámenes oficiales de la PAU: cada uno cita su fuente y sus criterios.