PAU Madrid 2026 · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · Ordinaria
Pregunta 4.2: test de control de calidad: probabilidad total de un negativo y Bayes para un defecto grave
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- a)P(negativo) = 0,8696: por probabilidad total, 0,03 · 0,02 + 0,07 · 0,20 + 0,90 · 0,95.
- b)P(grave | positivo) = 147/652 ≈ 0,2255: por Bayes, 0,03 · 0,98 entre P(positivo) = 1 − 0,8696 = 0,1304.
Pregunta 4.2
En un laboratorio farmacéutico se realiza un test de control de calidad para detectar productos defectuosos antes de su distribución. Se conoce la siguiente información: el 3 % de los productos presenta un defecto grave, el 7 % un defecto leve y el resto no presenta defectos; si el defecto es grave, el test da positivo el 98 % de las veces; si el defecto es leve, el test da positivo el 80 % de las veces; si el producto no tiene defectos, el test da positivo el 5 % de las veces.
- a)Calcule la probabilidad de que el test de un producto seleccionado al azar dé negativo. (1,2 p)
- b)Si el test de un producto ha dado positivo, calcule la probabilidad de que el defecto sea grave. (1,3 p)
Con el examen se entrega: Tabla de la distribución normal N(0; 1).
Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 · Ordinaria · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UCM. Solución verificada con sus criterios.
Examen oficial en PDF (ucm.es)Corregir con foto abre muy pronto
Dónde están los puntos
Así reparte el tribunal 2,5 puntos.
- 01a) Identificación correcta de la probabilidad pedida0,4
- 02a) Planteamiento correcto de la probabilidad0,3
- 03a) Cálculo correcto de la probabilidad pedida0,5
- 04b) Identificación correcta de la probabilidad pedida0,4
- 05b) Planteamiento correcto de la probabilidad0,5
- 06b) Cálculo correcto de la probabilidad pedida0,4
- Penalización: Cada suceso no definido (−0,1 cada vez, hasta −2,5).
Criterio general: La calificación debe hacerse en múltiplos de 0,1 puntos.
Inténtalo primero
Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.
Pista 1 · ¿Cómo organizar los tres tipos de producto?
Define primero los sucesos y dibuja un árbol: el tipo de producto es la primera ramificación y el resultado del test, la segunda.
Pista 2 · ¿Qué va detrás de la barra en el apartado b?
En el apartado b lo que se sabe es el resultado del test: ponlo detrás de la barra y divide entre la probabilidad total de ese resultado.
Solución paso a paso
Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.
01a · Define los sucesos e identifica la probabilidad pedidaTribunal: identificación correcta de la probabilidad pedida0,4
Define G = «el producto tiene un defecto grave», L = «tiene un defecto leve», N = «no tiene defectos» y T = «el test da positivo». G, L y N forman un sistema completo, con P(G) = 0,03, P(L) = 0,07 y P(N) = 1 − 0,03 − 0,07 = 0,90. Se pide P(Tᶜ), la probabilidad de que el test dé negativo. Escribe todas las definiciones: cada suceso sin definir resta 0,1 puntos.
02a · Plantea la probabilidad totalTribunal: planteamiento correcto de la probabilidad0,3
Un negativo puede venir de cualquiera de los tres tipos de producto, así que P(Tᶜ) = P(G)·P(Tᶜ | G) + P(L)·P(Tᶜ | L) + P(N)·P(Tᶜ | N). Las condicionadas de negativo son las complementarias de los datos: P(Tᶜ | G) = 0,02, P(Tᶜ | L) = 0,20 y P(Tᶜ | N) = 0,95. Un árbol con tres ramas lo deja a la vista.
03a · Calcula la probabilidad de negativoTribunal: cálculo correcto de la probabilidad pedida0,5
P(Tᶜ) = 0,03 · 0,02 + 0,07 · 0,20 + 0,90 · 0,95 = 0,0006 + 0,014 + 0,855 = 0,8696. Comprobación por la otra vía: P(T) = 0,0294 + 0,056 + 0,045 = 0,1304, y 1 − 0,1304 = 0,8696.
04b · Identifica la condicionada que se pideTribunal: identificación correcta de la probabilidad pedida0,4
Se sabe que el test ha dado positivo y se pregunta si el defecto es grave: se pide P(G | T). Lo que ya se conoce, T, va detrás de la barra. No es P(T | G) = 0,98, que es un dato del enunciado.
05b · Plantea el teorema de BayesTribunal: planteamiento correcto de la probabilidad0,5
Por Bayes, P(G | T) = P(G)·P(T | G)/P(T). El denominador es la probabilidad total de positivo, que sale del apartado a: P(T) = 1 − P(Tᶜ) = 1 − 0,8696 = 0,1304.
06b · Calcula la probabilidad de defecto graveTribunal: cálculo correcto de la probabilidad pedida0,4
P(G | T) = 0,03 · 0,98/0,1304 = 0,0294/0,1304 = 147/652 ≈ 0,2255. Aunque el test detecta casi todos los defectos graves, solo algo más de uno de cada cinco positivos lo es: los graves son pocos (3 %) y los productos con defecto leve o sin defecto aportan la mayor parte de los positivos.
Error típico
Confundir P(G | T) con P(T | G)
Lo que se suele escribir: P(G | T) = 0,98. Lo correcto: P(G | T) = 0,0294/0,1304 ≈ 0,2255
El error más caro del apartado b es responder 0,98. Ese dato es P(T | G), la probabilidad de positivo cuando el defecto es grave; el enunciado pide la inversa, P(G | T): sabiendo que ha dado positivo, ¿es grave? Para dar la vuelta a la condicionada necesitas Bayes, y el resultado es mucho menor porque la mayoría de los positivos vienen de productos con defecto leve o sin defecto.
Cuesta los puntos de «identificación correcta de la probabilidad pedida»: 0,4 puntos de 2,5.
Márcate con los criterios del tribunal
Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.
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Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?
2,5 puntos de 10. En la pregunta 4 eliges una de dos opciones: la 4.2 o la 4.1.
¿La solución es oficial?
No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.
¿Dónde está el enunciado original?
En el PDF oficial (ucm.es): el enunciado en la página 2 y los criterios de corrección en la página 8.
Fuente
Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 · Ordinaria · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UCM. Publicado en ucm.es, consultado el 19 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.