PAU Madrid 2026 · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · Ordinaria

Pregunta 2.2: función a trozos racional: dominio, continuidad en x = 0 y asíntotas en −∞ y en +∞

Q: ¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?

2,5 puntos de 10. En la pregunta 2 eliges una de dos opciones: la 2.2 o la 2.1.

Q: ¿La solución es oficial?

No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.

Q: ¿Dónde está el enunciado original?

En el PDF oficial (ucm.es): el enunciado en la página 1 y los criterios de corrección en la página 7.

En breveOcultar para practicarMostrar el resultado

a)Dom f = ℝ: denominadores no nulos en su tramo.
b)f no es continua en x = 0: f(0⁻) = 1/2 ≠ f(0⁺) = 0.
c)y = 0 en −∞, pues lím f(x) = 0.
d)y = x + 1 en +∞, oblicua: m = lím f(x)/x = 1 y n = lím (f(x) − x) = 1.

Pregunta 2.2

PAU Madrid 2026 · OrdinariaAnálisis2,5 puntos

Sea la función real de variable real definida por f(x) = (x + 2)/(x − 2)² si x < 0; f(x) = (x² + x³)/(x² + 1) si x ≥ 0.

a)Determine razonadamente el dominio de f(x). (0,5 p)
b)Estudie la continuidad de f(x) en x = 0. (0,5 p)
c)Calcule la asíntota de f(x) cuando x → −∞. (0,5 p)
d)Calcule la asíntota de f(x) cuando x → +∞. (1 p)

Con el examen se entrega: Tabla de la distribución normal N(0; 1).

Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 · Ordinaria · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UCM. Solución verificada con sus criterios.

Examen oficial en PDF (ucm.es)

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Dónde están los puntos

Así reparte el tribunal 2,5 puntos.

Los criterios, a escala2,5puntos

Criterios oficialesPuntos

01a) Justificación correcta del dominio en la rama x < 00,4
02a) Justificación correcta del dominio en la rama x ≥ 00,1
03b) Planteamiento de la definición de continuidad0,1
04b) Cálculo correcto de los límites laterales0,1
05b) Conclusión correcta sobre la no continuidad en x = 00,3
06c) Cálculo correcto de la asíntota horizontal0,4
07c) Comunicación correcta del resultado: la asíntota cuando x → −∞0,1
08d) Identificación de la existencia de una asíntota oblicua0,2
09d) Cálculo correcto de la pendiente0,3
10d) Cálculo correcto de la ordenada en el origen0,4
11d) Comunicación correcta del resultado: la asíntota cuando x → +∞0,1

Criterio general: La calificación debe hacerse en múltiplos de 0,1 puntos.

Inténtalo primero

Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.

Pista 1 · ¿Qué rama manda en cada apartado?

Para el dominio comprueba ambas ramas, cada una en su tramo; para la continuidad en x = 0 compara los límites laterales con f(0). Para cada asíntota, usa la rama de esa dirección: la primera cuando x → −∞ y la segunda cuando x → +∞.

Pista 2 · ¿Horizontal u oblicua?

Compara los grados del numerador y del denominador de la rama que corresponda: eso te dice si la asíntota es horizontal u oblicua. Para una oblicua y = mx + n, m = lím f(x)/x y n = lím (f(x) − mx).

Solución paso a paso

Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.

01a · Comprueba dónde se anula el denominador en x < 0Tribunal: justificación correcta del dominio en la rama x < 00,4
Una función racional solo deja de estar definida donde se anula su denominador. En la primera rama, (x − 2)² = 0 solo para x = 2, y ese valor no pertenece a la rama, que solo vale para x < 0. Por tanto, f está definida en todo x < 0.
${(x - 2)}^{2} = 0 ⟺ x = 2 \notin (- \infty, 0)$
Tribunal
Justificación correcta del dominio en la rama x < 0: 0,4 puntos.
0,4de 2,5
02a · Comprueba el denominador de la rama x ≥ 0Tribunal: justificación correcta del dominio en la rama x ≥ 00,1
En la segunda rama el denominador es x² + 1, que vale al menos 1 para cualquier x real y nunca se anula. Las dos ramas juntas cubren toda la recta, así que Dom f = ℝ.
Tribunal
Justificación correcta del dominio en la rama x ≥ 0: 0,1 puntos.
0,1de 2,5
03b · Plantea la definición y calcula los límites lateralesTribunal: planteamiento de la definición de continuidad · cálculo correcto de los límites laterales0,2
f es continua en x = 0 si existen los dos límites laterales, coinciden entre sí y coinciden con f(0). Por la izquierda manda la primera rama: (0 + 2)/(0 − 2)² = 2/4 = 1/2. Por la derecha y en el propio punto manda la segunda: (0 + 0)/(0 + 1) = 0, así que el límite por la derecha es 0 y f(0) = 0.
$\lim_{x \to 0^{-}} \frac{x + 2}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} + x^{3}}{x^{2} + 1} = 0 = f (0)$
Tribunal
Planteamiento de la definición de continuidad: 0,1 puntos. Cálculo correcto de los límites: 0,1 puntos.
0,2de 2,5
04b · Concluye que f no es continua en x = 0Tribunal: conclusión correcta sobre la no continuidad en x = 00,3
Los límites laterales existen pero son distintos (1/2 por la izquierda y 0 por la derecha), así que no existe el límite de f en x = 0 y f no es continua en ese punto. Que f(0) exista y valga 0 no basta. Si quieres afinar, es una discontinuidad de salto finito.
Tribunal
Conclusión correcta sobre la no continuidad en x=0: 0,3 puntos.
0,3de 2,5
05c · Calcula el límite en −∞ y escribe la asíntotaTribunal: cálculo correcto de la asíntota horizontal · comunicación correcta del resultado: la asíntota cuando x → −∞0,5
Cuando x → −∞ manda la rama x < 0, así que usa la primera fórmula. El numerador x + 2 es de grado 1 y el denominador (x − 2)² = x² − 4x + 4 es de grado 2: el cociente tiende a 0. Escribe la conclusión completa: la asíntota de f cuando x → −∞ es la horizontal y = 0.
$\lim_{x \to - \infty} \frac{x + 2}{x^{2} - 4 x + 4} = 0 ⟹ y = 0$
Tribunal
Cálculo correcto de la asíntota horizontal: 0,4 puntos. Comunicación correcta del resultado: 0,1 puntos.
0,5de 2,5
06d · Justifica que en +∞ hay asíntota oblicuaTribunal: identificación de la existencia de una asíntota oblicua0,2
Cuando x → +∞ manda la segunda rama, (x³ + x²)/(x² + 1). El numerador tiene exactamente un grado más que el denominador, así que f(x) tiende a +∞ (no hay asíntota horizontal) y crece como una recta: hay asíntota oblicua y = mx + n.
Tribunal
Identificación de la existencia de una asíntota oblicua: 0,2 puntos.
0,2de 2,5
07d · Calcula la pendiente mTribunal: cálculo correcto de la pendiente0,3
La pendiente es el límite de f(x)/x. Al dividir entre x queda (x³ + x²)/(x³ + x), con numerador y denominador del mismo grado: el límite es el cociente de los coeficientes principales, 1/1 = 1.
$m = \lim_{x \to + \infty} \frac{f (x)}{x} = \lim_{x \to + \infty} \frac{x^{3} + x^{2}}{x^{3} + x} = 1$
Tribunal
Cálculo correcto de la pendiente: 0,3 puntos.
0,3de 2,5
08d · Calcula la ordenada n y escribe la asíntotaTribunal: cálculo correcto de la ordenada en el origen · comunicación correcta del resultado: la asíntota cuando x → +∞0,5
La ordenada es el límite de f(x) − mx = f(x) − x. Pon denominador común: (x³ + x² − x³ − x)/(x² + 1) = (x² − x)/(x² + 1), que tiende a 1 porque los grados son iguales. Así que la asíntota de f cuando x → +∞ es la oblicua y = x + 1. Puedes comprobarlo dividiendo: x³ + x² entre x² + 1 da cociente x + 1 y resto −x − 1.
$n = \lim_{x \to + \infty} (\frac{x^{3} + x^{2}}{x^{2} + 1} - x) = \lim_{x \to + \infty} \frac{x^{2} - x}{x^{2} + 1} = 1 ⟹ y = x + 1$
Tribunal
Cálculo correcto de la ordenada en el origen: 0,4 puntos. Comunicación correcta del resultado: 0,1 puntos.
0,5de 2,5

Error típico

Usar la rama equivocada en −∞

Lo que se suele escribir: ~~en −∞: y = x + 1~~. Lo correcto: en −∞: y = 0

Es fácil calcular las dos asíntotas con la misma fórmula, la de la segunda rama, y dar y = x + 1 también en −∞. Pero la segunda rama solo vale para x ≥ 0: cuando x → −∞ la función es (x + 2)/(x − 2)², cuyo límite es 0. Antes de calcular un límite en el infinito, mira qué rama está definida en esa dirección.

Cuesta los puntos de «cálculo correcto de la asíntota horizontal»: 0,4 puntos de 2,5.

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Preguntas frecuentes

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