PAU Madrid 2026 · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · Ordinaria
Pregunta 3.2: región con cinco restricciones: vértices, representación y mínimo de 3y − x/2
En breveOcultar para practicarMostrar el resultado
- a)vértices (−2, 2), (4, −2), (6, 0), (6, 4) y (4, 6): son los cortes de rectas frontera que cumplen las cinco restricciones.
- b)mínimo −8 en (4, −2): se evalúa 3y − x/2 en los cinco vértices y el menor valor sale en (4, −2).
Pregunta 3.2
Considere la región S del plano delimitada por las siguientes restricciones: x ≤ 6, 3y − 2x ≤ 10, 3y ≥ 2 − 2x, x ≤ 10 − y, y ≥ x − 6.
- a)Calcule las coordenadas de los vértices de S y represente gráficamente la región S. (2 p)
- b)Se desea minimizar el triple de y menos la mitad de x en S. Indique el valor mínimo y el punto de la región en el cual se alcanza. (0,5 p)
Con el examen se entrega: Tabla de la distribución normal N(0; 1).
Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 · Ordinaria · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UCM. Solución verificada con sus criterios.
Examen oficial en PDF (ucm.es)Corregir con foto abre muy pronto
Dónde están los puntos
Así reparte el tribunal 2,5 puntos. Más de la mitad está en dos criterios: cálculo correcto de los cinco vértices y representación gráfica correcta de la región factible.
- 01a) Cálculo correcto de los cinco vértices1,5
- 02a) Representación gráfica correcta de la región factible0,5
- 03b) Planteamiento correcto de la función objetivo0,1
- 04b) Minimización correcta0,4
- Penalización: Cada vértice incorrecto o que falte (−0,3 cada vez, hasta −1,5).
Criterio general: La calificación debe hacerse en múltiplos de 0,1 puntos.
Inténtalo primero
Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.
Pista 1 · ¿Qué cortes de rectas son vértices de verdad?
Pasa cada desigualdad a su recta frontera y resuelve los sistemas de dos rectas: un corte solo es vértice si cumple las cinco restricciones.
Pista 2 · ¿Dónde se alcanza el mínimo?
En una región acotada, el mínimo de una función lineal está en un vértice: escribe la función a partir de la frase y evalúala en todos.
Solución paso a paso
Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.
01a · Corta las rectas frontera y quédate con los puntos de STribunal: cálculo correcto de los cinco vértices1,5
Convierte cada restricción en su recta frontera: x = 6, 3y − 2x = 10, 3y = 2 − 2x, x + y = 10 e y = x − 6. Resuelve los sistemas de dos rectas y comprueba cada punto en las cinco desigualdades: solo los que las cumplen todas son vértices. Salen (−2, 2), (4, −2), (6, 0), (6, 4) y (4, 6). Cortes como (6, 22/3) o (6, −10/3) se descartan: el primero incumple x ≤ 10 − y y el segundo, y ≥ x − 6.
02a · Dibuja las cinco rectas y sombrea la regiónTribunal: representación gráfica correcta de la región factible0,5
Dibuja cada recta a partir de dos de sus puntos (los vértices te sirven). Para saber qué lado es el bueno, prueba un punto interior como (2, 2): cumple 2 ≤ 6, 3·2 − 2·2 = 2 ≤ 10, 6 ≥ 2 − 4, 2 ≤ 10 − 2 y 2 ≥ 2 − 6. S es el pentágono de vértices, en orden, (−2, 2), (4, −2), (6, 0), (6, 4) y (4, 6); sombréalo y rotula los vértices con sus coordenadas.
03b · Traduce el enunciado a la función objetivoTribunal: planteamiento correcto de la función objetivo0,1
«El triple de y menos la mitad de x» es f(x, y) = 3y − x/2, y se busca su valor mínimo en S. Respeta el orden de la frase: el triple va con y y la mitad, con x.
04b · Evalúa f en los vértices y elige el menorTribunal: minimización correcta0,4
S es acotada, así que el mínimo de una función lineal se alcanza en un vértice. Los valores son f(−2, 2) = 7, f(4, −2) = −8, f(6, 0) = −3, f(6, 4) = 9 y f(4, 6) = 16. El valor mínimo es −8 y se alcanza solo en el punto (4, −2).
Error típico
Dar por vértice un corte de rectas que queda fuera de S
Lo que se suele escribir: Vértice (6, 22/3). Lo correcto: Vértice (6, 4)
El fallo que más puntos cuesta es dar por vértice cualquier corte de dos rectas. Con cinco rectas hay diez cortes y solo cinco están en S: x = 6 y 3y − 2x = 10 se cortan en (6, 22/3), pero 6 + 22/3 > 10, así que ese punto incumple x ≤ 10 − y. Cada vértice incorrecto o que falte resta 0,3 puntos: comprueba cada punto en las cinco desigualdades antes de darlo, y usa el dibujo para ver qué rectas son lados consecutivos.
Cuesta los puntos de «cálculo correcto de los cinco vértices»: 1,5 puntos de 2,5.
Márcate con los criterios del tribunal
Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.
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Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?
2,5 puntos de 10. En la pregunta 3 eliges una de dos opciones: la 3.2 o la 3.1.
¿La solución es oficial?
No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.
¿Dónde está el enunciado original?
En el PDF oficial (ucm.es): el enunciado en la página 2 y los criterios de corrección en la página 8.
Fuente
Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 · Ordinaria · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UCM. Publicado en ucm.es, consultado el 19 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.