PAU Madrid 2026 · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · Ordinaria
Pregunta 3.1: ecuación matricial AXB = A + B con matrices de orden 3 y determinante de C²B
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- a)X = (1/4 1 1/4; 1 0 1; 1/4 1 13/4): de AXB = A + B se despeja X = A⁻¹(A + B)B⁻¹ = B⁻¹ + A⁻¹.
- b)|C²B| = 8: |C²B| = |C|²·|B|, con |C| = 2³·|A⁻¹| = 8 porque |A| = 1, y |B| = 1/8.
Pregunta 3.1
Considere las matrices A y B. A se muestra en la tabla siguiente. La matriz B es diagonal y tiene, en este orden, las filas (1, 0, 0), (0, 1/2, 0) y (0, 0, 1/4).
- a)Calcule la matriz X en la ecuación matricial AXB = A + B. (1,5 p)
- b)Calcule el determinante |C²B|, siendo C = 2(A⁻¹)ᵗ. Nota: Mᵗ denota la matriz traspuesta de la matriz M. (1 p)
Con el examen se entrega: Tabla de la distribución normal N(0; 1).
Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 · Ordinaria · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UCM. Solución verificada con sus criterios.
Examen oficial en PDF (ucm.es)Corregir con foto abre muy pronto
Dónde están los puntos
Así reparte el tribunal 2,5 puntos.
- 01a) Cálculo correcto de la matriz inversa de A0,4
- 02a) Cálculo correcto de la matriz inversa de B0,1
- 03a) Planteamiento correcto de la ecuación para despejar X0,5
- 04a) Cálculo correcto de X0,5
- 05b) Planteamiento correcto del cálculo del determinante0,5
- 06b) Cálculo correcto del determinante0,5
Criterio general: La calificación debe hacerse en múltiplos de 0,1 puntos.
Inténtalo primero
Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.
Pista 1 · ¿Por qué lado multiplicas cada inversa?
Despeja X antes de sustituir números: A está a la izquierda de X y B a la derecha, así que cada inversa tiene que multiplicar por su lado. Desarrollar el producto antes de operar puede ahorrarte cuentas.
Pista 2 · ¿Qué propiedades del determinante usas?
En b) no hace falta calcular C ni C²: usa |MN| = |M|·|N|, |Mᵗ| = |M|, |M⁻¹| = 1/|M| y que multiplicar una matriz 3 × 3 por k multiplica su determinante por k³.
Solución paso a paso
Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.
01a · Calcula la inversa de ATribunal: cálculo correcto de la matriz inversa de A0,4
Empieza por el determinante: |A| = 1/2·(1/4 − 1) − 1·(1/2 − 3/2) + 3/2·(1 − 3/4) = −3/8 + 1 + 3/8 = 1, así que A es invertible. Con A⁻¹ = (Adj A)ᵗ/|A| salen las filas (−3/4, 1, 1/4), (1, −2, 1) y (1/4, 1, −3/4); como A es simétrica, su inversa también lo es. Comprueba que A·A⁻¹ = I antes de seguir.
02a · Calcula la inversa de BTribunal: cálculo correcto de la matriz inversa de B0,1
B es diagonal con todos los elementos de la diagonal distintos de cero, así que su inversa es la diagonal de los inversos: B⁻¹ = diag(1, 2, 4). Basta multiplicar para ver que B·B⁻¹ = I.
03a · Despeja X multiplicando cada inversa por su ladoTribunal: planteamiento correcto de la ecuación para despejar X0,5
A está a la izquierda de X y B a la derecha. Multiplica los dos miembros por A⁻¹ por la izquierda y por B⁻¹ por la derecha: X = A⁻¹(A + B)B⁻¹. Si desarrollas, A⁻¹AB⁻¹ = B⁻¹ y A⁻¹BB⁻¹ = A⁻¹, así que X = B⁻¹ + A⁻¹, que ahorra productos. El orden importa: el producto de matrices no es conmutativo.
04a · Calcula X y compruébalaTribunal: cálculo correcto de X0,5
Suma B⁻¹ = diag(1, 2, 4) a A⁻¹: solo cambia la diagonal, que pasa a ser 1/4, 0 y 13/4. X tiene filas (1/4, 1, 1/4), (1, 0, 1) y (1/4, 1, 13/4). Para comprobarlo, calcula AXB: sale la matriz de filas (3/2, 1, 3/2), (1, 1, 1) y (3/2, 1, 3/4), que es A + B.
05b · Aplica las propiedades del determinanteTribunal: planteamiento correcto del cálculo del determinante0,5
No hace falta calcular C. El determinante de un producto es el producto de determinantes, así que |C²B| = |C|²·|B|. Para |C|: la traspuesta no cambia el determinante, |A⁻¹| = 1/|A|, y multiplicar una matriz 3 × 3 por 2 multiplica su determinante por 2³. Por tanto, |C| = 2³·|A⁻¹| = 8/|A|.
06b · Calcula el determinanteTribunal: cálculo correcto del determinante0,5
Con |A| = 1 del apartado a), |C| = 8. B es diagonal, así que |B| = 1·1/2·1/4 = 1/8. Entonces |C²B| = 8²·1/8 = 64/8 = 8.
Error típico
Sacar el 2 del determinante sin elevarlo al cubo
Lo que se suele escribir: |2(A⁻¹)ᵗ| = 2·|A⁻¹|. Lo correcto: |2(A⁻¹)ᵗ| = 2³·|A⁻¹|
Un fallo frecuente en b) es sacar el 2 de C como si fuera un factor simple: |2(A⁻¹)ᵗ| = 2·|A⁻¹|. Pero el 2 multiplica las nueve entradas, y cada una de las tres filas aporta un factor 2: el determinante queda multiplicado por 2³ = 8. Con el error, |C| = 2 y el resultado final sería 1/2 en lugar de 8.
Cuesta los puntos de «planteamiento correcto del cálculo del determinante»: 0,5 puntos de 2,5.
Márcate con los criterios del tribunal
Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.
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Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?
2,5 puntos de 10. En la pregunta 3 eliges una de dos opciones: la 3.1 o la 3.2.
¿La solución es oficial?
No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.
¿Dónde está el enunciado original?
En el PDF oficial (ucm.es): el enunciado en la página 2 y los criterios de corrección en la página 8.
Fuente
Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 · Ordinaria · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UCM. Publicado en ucm.es, consultado el 19 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.