Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · Madrid · Bloque de álgebra
Matrices y sistemas en la PAU de Madrid: ejercicios resueltos
14 ejercicios resueltos de matrices y sistemas de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II: ordinaria, ordinaria · incidencias, extraordinaria, extraordinaria · incidencias y modelo de 2025, ordinaria, extraordinaria, extraordinaria · incidencias y modelo de 2026 y modelo de 2027. Aquí tienes el método, los ejercicios y los errores que más puntos cuestan.
14ejercicios resueltos de 2025, 2026 y 2027
2024: aún sin clasificar por temas. Tienes los PDF oficiales en la página de la asignatura.
El método, criterio a criterio
Así reparte el tribunal los 2,5 puntos de la 3.1 de la ordinaria de 2026, paso a paso:
- a · Calcula la inversa de A0,4/2,5Cálculo correcto de la matriz inversa de A
- a · Calcula la inversa de B0,1/2,5Cálculo correcto de la matriz inversa de B
- a · Despeja X multiplicando cada inversa por su lado0,5/2,5Planteamiento correcto de la ecuación para despejar X
- a · Calcula X y compruébala0,5/2,5Cálculo correcto de X
- b · Aplica las propiedades del determinante0,5/2,5Planteamiento correcto del cálculo del determinante
- b · Calcula el determinante0,5/2,5Cálculo correcto del determinante
Los criterios son los oficiales del examen. Los pasos y las explicaciones son nuestros.
Ejercicios de matrices y sistemas
- Madrid 2026 · Ordinaria · 3.12,5 puntosConsidere las matrices A y B. A se muestra en la tabla siguiente. La matriz B es diagonal y tiene, en este orden, las filas (1, 0, 0), (0, 1/2, 0) y (0, 0, 1/4).
- Madrid 2026 · Extraordinaria · 2.12,5 puntosDadas las matrices A, B y C. A se muestra en la tabla siguiente. La matriz B tiene, en este orden, las filas (1, 0), (1, 1) y (0, 1). La matriz C tiene, en este orden, las filas (5, 0) y (0, −1).
- Madrid 2026 · Extraordinaria · 2.22,5 puntosSe considera el siguiente sistema de ecuaciones dependiente del parámetro real a, formado por las ecuaciones 3x + ay = 1, 2x − y + az = 1 y x − 3y + 2z = 1.
- Madrid 2026 · Extraordinaria · incidencias · 12,5 puntosSusana dejó su trabajo como CEO de una multinacional cosmética que utiliza productos químicos por discrepancias con el director general de la empresa. Empleó su indemnización para montar una pequeña empresa de fabricación y distribución de cosmética 100 % natural.
- Madrid 2025 · Ordinaria · 12,5 puntosEl dueño de una frutería quiere alquilar una cámara frigorífica para la campaña de sandías del verano. Entre las diferentes cámaras que puede alquilar cercanas a su frutería, la que más le convence es una que tiene capacidad para guardar 2700 kilos de sandía que es, según sus datos de años anteriores, la cantidad de kilos que vende cualquier semana de la campaña. Las sandías que vende son de tres variedades: sandía verde rayada, sandía negra sin pepitas y sandía negra con pepitas. La sandía rayada es la menos apreciada por su clientela, por ello decide ponerle el precio más bajo y la venderá a 1,25 euros el kilo. Las sandías negras son las más demandadas entre su clientela, pero entre estas dos variedades es más fácil vender la variedad sin pepitas. Por esta razón, determina que el precio de la sandía negra sin pepitas sea de 2,75 euros el kilo y el precio con pepitas de 2,25 euros el kilo. El dueño de la frutería quiere que, en cualquier circunstancia, el número de kilos de sandía negra con pepitas vendidos sea un tercio del total de kilos de sandías sin pepitas y sandías rayadas.
- Madrid 2025 · Ordinaria · incidencias · 12,5 puntosUn taller de carpintería especializado en muebles de comedor fabrica sillas y mesas. Para ampliar el negocio la dueña se está planteando fabricar otros muebles, como estanterías, pero esta ampliación aún no se ha efectuado y antes de considerarlo quiere utilizar sus recursos de la mejor manera posible.
- Madrid 2025 · Extraordinaria · 2.12,5 puntosSe considera el sistema de ecuaciones dependiente del parámetro real a, formado por x + y + z = 2, 2x − y + z = 3 y (a + 1)x + az = 5.
- Madrid 2025 · Extraordinaria · incidencias · 2.12,5 puntosSe consideran las matrices A y B. A se muestra en la tabla siguiente. La matriz B tiene, en este orden, las filas (1, −1, 1) y (−1, 1, −1).
- Madrid 2025 · Extraordinaria · incidencias · 2.22,5 puntosSe considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real a, formado por las ecuaciones ax + y = a + 1, ay + z = −2a y −ax + az = −2.
- Madrid 2027 · Modelo · 12,5 puntosEl restaurante de un reconocido chef atrae la atención de sus clientes por el prestigio gastronómico de sus platos elaborados siempre con productos de primera calidad. Sin embargo, el mayor atractivo para la clientela es su salsa secreta. Por ello, la gestión eficiente de esta receta y su correcto uso en los platos que conforman su oferta gastronómica es de vital importancia. La receta requiere el uso de dos ingredientes I₁ e I₂ cuyo nombre no puede desvelarse. Su mezcla será diluida posteriormente en un caldo previamente elaborado por el chef para obtener un litro de salsa. Para que la receta de la salsa secreta sea satisfactoria, es necesario que se usen a lo sumo 5 g del ingrediente I₁ y al menos 2 g del ingrediente I₂. La suma de las cantidades de ambos ingredientes debe ser al menos 6 g y la cantidad de ingrediente I₂ no puede exceder dos veces la cantidad del ingrediente I₁. Además, se sabe que los costes por cada gramo de los ingredientes I₁ e I₂ son respectivamente 20 y 30 céntimos de euro.
- Madrid 2026 · Modelo · 2.12,5 puntosSe consideran las matrices A y B. A se muestra en la tabla siguiente. La matriz B tiene una sola fila: B = (1, −1, 1). Nota: para cualquier matriz M, Mᵗ indica su matriz traspuesta.
- Madrid 2026 · Modelo · 2.22,5 puntosEl azafrán ecológico es una especia culinaria muy apreciada y costosa. Una empresa lo envasa y comercializa en distintos formatos: sobres de papel reciclado, cajas de plástico y cajas de metal. Cada uno de ellos se envasa en una línea de envasado diferente. Se sabe que el total del azafrán pendiente de envasar a última hora de un día determinado se podría distribuir bien en 15 sobres de papel y 4 cajas de plástico, o bien en 4 cajas de plástico y 3 cajas de metal. Por otra parte, el contenido de un sobre de papel más el de una caja de plástico es 5 gramos inferior que el de una caja de metal. Además, si al total del contenido de 5 cajas de plástico se le añade un gramo más de azafrán, se dobla la capacidad conjunta de los otros dos envases. Indique cuántos gramos de azafrán contiene cada uno de los envases en que puede comercializarse el azafrán.
- Madrid 2025 · Modelo · 2.12,5 puntosSe consideran las matrices A y B. A se muestra en la tabla siguiente. La matriz B tiene, en este orden, las filas (1, −100) y (−1, 1).
- Madrid 2025 · Modelo · 2.22,5 puntosSe considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real a, formado por x − y + z = −1, ax + (−a + 2)y = 2 y 2x − (a + 3)y + (a + 2)z = −5.
Otros años · aún sin clasificar por temas
- 2024Ordinaria y ExtraordinariaOrdinaria de 2024: PDF oficialExtraordinaria de 2024: PDF oficialSolo PDF oficial
Errores que más puntos quitan
Ordenados por lo que vale el criterio que te juegas.
Discusión correcta del sistema · 1,2
Que |A| = 0 en a = 1 y en a = −6 solo dice que ahí el sistema no es compatible determinado; el tipo lo decide el rango de la ampliada. Es frecuente dar los dos valores como indeterminados sin calcular nada más, y eso se lleva buena parte de la discusión. Busca un menor de orden 3 de la ampliada: en a = −6 vale 7 y no hay solución; en a = 1 se anulan todos, porque la primera ecuación es combinación de las otras dos.
Madrid 2026 · Extraordinaria · 2.2: ver el ejercicioDiscusión correcta del sistema · 1
Dar por compatible indeterminado cualquier valor que anula el determinante. Que |A| = 0 solo dice que el sistema no es compatible determinado; para saber si tiene infinitas soluciones o ninguna hay que comparar rg A con rg A*. Aquí a = 0 y a = 1 llevan a una contradicción (0 = −2, o y + z valiendo 0 y −2 a la vez) y son incompatibles; solo a = −1 es indeterminado. Estudia cada valor crítico por separado.
Madrid 2025 · Extraordinaria · incidencias · 2.2: ver el ejercicioPlanteamiento correcto del sistema de ecuaciones · 0,9
El error que más cuesta es leer al revés «5 gramos inferior que el de una caja de metal». Lo que pesa menos es el sobre más la caja de plástico, así que a la caja de metal le sobran los 5 g. Con la ecuación invertida el sistema da gramos negativos y pierdes los puntos del planteamiento. Antes de resolver, prueba la ecuación con números inventados.
Madrid 2026 · Modelo · 2.2: ver el ejercicio
Corregir con foto · muy pronto
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Preguntas frecuentes
Sobre matrices y sistemas en Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II de Madrid.
¿Cuánto valen los ejercicios de matrices y sistemas en la PAU de Madrid?
En los exámenes resueltos de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II: la 3.1 de la ordinaria de 2026 (2,5 puntos), la 2.1 de la extraordinaria de 2026 (2,5 puntos), la 2.2 de la extraordinaria de 2026 (2,5 puntos), la 1 de la extraordinaria · incidencias de 2026 (2,5 puntos), la 1 de la ordinaria de 2025 (2,5 puntos) y la 1 de la ordinaria · incidencias de 2025 (2,5 puntos). Las preguntas con número 4.1, 5.2… son optativas: eliges una de las dos de su grupo.
¿Qué entra en matrices y sistemas?
Operaciones y potencias de matrices, matriz inversa, ecuaciones matriciales y determinantes; planteamiento, discusión con parámetro y resolución de sistemas lineales.
¿Puedo corregirme un ejercicio de matrices y sistemas?
Todavía no con foto: corregir con foto abre muy pronto. Mientras tanto, compara tu folio con la solución paso a paso de los 14 ejercicios resueltos de esta página y márcate con los criterios oficiales.
¿Hay ejercicios de matrices y sistemas de otros años?
Sí, pero aún no los hemos resuelto ni clasificado por temas. De 2024 tienes el PDF oficial de la universidad en la página de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II de Madrid.