PAU Madrid 2025 · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · Ordinaria
Pregunta 1: sandías en la cámara frigorífica: sistema con tres incógnitas y precio único
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- a)1125 kg de rayada, 900 kg de negra sin pepitas y 675 kg de negra con pepitas, del sistema de kilos, importe y «un tercio».
- b)2 € el kilo (5400/2700), con 675 kg de negra con pepitas y 2025 kg entre rayada y negra sin pepitas, que no son únicas: el sistema es compatible indeterminado.
Pregunta 1
El dueño de una frutería quiere alquilar una cámara frigorífica para la campaña de sandías del verano. Entre las diferentes cámaras que puede alquilar cercanas a su frutería, la que más le convence es una que tiene capacidad para guardar 2700 kilos de sandía que es, según sus datos de años anteriores, la cantidad de kilos que vende cualquier semana de la campaña. Las sandías que vende son de tres variedades: sandía verde rayada, sandía negra sin pepitas y sandía negra con pepitas. La sandía rayada es la menos apreciada por su clientela, por ello decide ponerle el precio más bajo y la venderá a 1,25 euros el kilo. Las sandías negras son las más demandadas entre su clientela, pero entre estas dos variedades es más fácil vender la variedad sin pepitas. Por esta razón, determina que el precio de la sandía negra sin pepitas sea de 2,75 euros el kilo y el precio con pepitas de 2,25 euros el kilo. El dueño de la frutería quiere que, en cualquier circunstancia, el número de kilos de sandía negra con pepitas vendidos sea un tercio del total de kilos de sandías sin pepitas y sandías rayadas.
- a)El frutero considera que para poder pagar el alquiler y obtener beneficio, debe recaudar de la venta 5400 euros cualquier semana de la campaña. Si se venden todas las sandías almacenadas para la semana, ¿cuántos kilos debería vender de cada variedad para recaudar exactamente ese importe? (1,25 p)
- b)Con la idea de simplificar el etiquetado, el frutero necesita saber si es posible poner el mismo precio a todas las variedades de sandías y seguir recaudando 5400 euros a la semana vendiendo los 2700 kilos. Si fuera posible, ¿cuál sería el precio de venta del kilo de sandía?, ¿cuál sería la cantidad de kilos de cada variedad que debería vender? Justifique si dichas cantidades serían únicas. (1,25 p)
Con el examen se entrega: Tabla de la distribución normal N(0; 1).
Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 · Ordinaria · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UCM. Solución verificada con sus criterios.
Examen oficial en PDF (ucm.es)Corregir con foto abre muy pronto
Dónde están los puntos
Así reparte el tribunal 2,5 puntos.
- 01a) Descripción adecuada de las tres incógnitas0,25
- 02a) Planteamiento y resolución correcta del sistema de ecuaciones0,75
- 03a) Obtención correcta de la solución contextualizada0,25
- 04b) Planteamiento correcto del sistema de ecuaciones0,5
- 05b) Obtención correcta del precio de venta pedido0,25
- 06b) Justificación de la no unicidad de la solución0,25
- 07b) Obtención correcta de la solución contextualizada0,25
Criterio general: La calificación debe hacerse en múltiplos de 0,25 puntos.
Inténtalo primero
Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.
Pista 1 · ¿Qué condiciones dan las ecuaciones?
Pon una letra a los kilos de cada variedad y traduce a una ecuación cada condición: lo que se vende, lo que se recauda y la relación del tercio.
Pista 2 · ¿Qué cambia con un precio único?
En b) el precio también es desconocido: dale una letra, despéjalo y mira cuántas ecuaciones independientes te quedan.
Solución paso a paso
Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.
01a · Nombra las tres incógnitasTribunal: descripción adecuada de las tres incógnitas0,25
Sean x los kilos de sandía verde rayada, y los kilos de sandía negra sin pepitas y z los kilos de sandía negra con pepitas que se venden en una semana. Deja escrito qué variedad y qué unidad representa cada letra: esa descripción puntúa aparte y evita confundir las variedades al plantear la condición del tercio.
02a · Plantea y resuelve el sistemaTribunal: planteamiento y resolución correcta del sistema de ecuaciones0,75
Se venden los 2700 kg: x + y + z = 2700. Se recaudan 5400 €: 1,25x + 2,75y + 2,25z = 5400. Los kilos con pepitas son un tercio de la suma de rayada y sin pepitas: z = (x + y)/3, es decir, x + y − 3z = 0. El determinante de la matriz de coeficientes vale −6 ≠ 0, así que la solución es única. Restando la tercera ecuación de la primera, 4z = 2700 y z = 675, luego x + y = 2025; en la segunda, 1,25x + 2,75y = 5400 − 1518,75 = 3881,25 y, con x = 2025 − y, 2531,25 + 1,5y = 3881,25: y = 900 y x = 1125.
03a · Contesta en el contexto del problemaTribunal: obtención correcta de la solución contextualizada0,25
No te quedes en x, y, z: el frutero debe vender cada semana 1125 kg de sandía rayada, 900 kg de negra sin pepitas y 675 kg de negra con pepitas. Comprueba: 1125 + 900 + 675 = 2700, 1406,25 + 2475 + 1518,75 = 5400 € y 675 es un tercio de 1125 + 900 = 2025.
04b · Plantea el sistema con un precio únicoTribunal: planteamiento correcto del sistema de ecuaciones0,5
Llama p al precio común del kilo, en euros. Las condiciones son las mismas que en a), pero la recaudación pasa a ser p·x + p·y + p·z = 5400, es decir, p(x + y + z) = 5400. El sistema queda con la cantidad total, la recaudación y la condición del tercio.
05b · Calcula el precio únicoTribunal: obtención correcta del precio de venta pedido0,25
Como x + y + z = 2700, la segunda ecuación da 2700p = 5400, así que p = 2. Sí es posible: el kilo de cualquier variedad tendría que venderse a 2 €.
06b · Justifica que las cantidades no son únicasTribunal: justificación de la no unicidad de la solución0,25
Con p = 2, la ecuación de la recaudación es 2x + 2y + 2z = 5400, que es la primera multiplicada por 2: no aporta información nueva. Quedan dos ecuaciones independientes con tres incógnitas, rg A = rg A* = 2 < 3, así que el sistema es compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones. Decir solo «hay infinitas» no basta: justifícalo con los rangos o con la ecuación que sobra.
07b · Da las cantidades en contextoTribunal: obtención correcta de la solución contextualizada0,25
Restando la tercera ecuación de la primera, de nuevo 4z = 2700: hay que vender siempre 675 kg de negra con pepitas, y los otros 2025 kg se reparten como se quiera entre rayada y negra sin pepitas. Con x = λ: y = 2025 − λ, z = 675, con 0 ≤ λ ≤ 2025 para que ningún peso sea negativo. El reparto de a), con λ = 1125, es uno de ellos.
Error típico
Invertir la relación de «un tercio»
Lo que se suele escribir: z = 3(x + y). Lo correcto: z = (x + y)/3
Traducir «un tercio» al revés y multiplicar por 3 la suma de rayada y sin pepitas en vez de dividirla. Los kilos con pepitas son la parte pequeña: las otras dos variedades suman el triple. Con la ecuación invertida salen 2025 kg con pepitas y 675 kg entre las otras dos, pero un tercio de 675 son 225 kg, no 2025. Prueba antes con números: si entre rayada y sin pepitas se venden 300 kg, con pepitas se venden 100.
Cuesta los puntos de «planteamiento y resolución correcta del sistema de ecuaciones»: 0,75 puntos de 2,5.
Márcate con los criterios del tribunal
Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.
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Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?
2,5 puntos de 10. Es obligatoria: la hace todo el mundo.
¿La solución es oficial?
No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.
¿Dónde está el enunciado original?
En el PDF oficial (ucm.es): el enunciado en la página 1 y los criterios de corrección en la página 6.
Fuente
Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 · Ordinaria · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UCM. Publicado en ucm.es, consultado el 19 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.