PAU Madrid 2025 · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · Ordinaria
Pregunta 2.1: continuidad de una función a trozos con parámetro y sus asíntotas
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- a)a = −1: el límite por la izquierda en x = 0 vale −1 = f(0) y el de la derecha, a.
- b)no tiene asíntotas verticales, porque ningún denominador se anula en su trozo; y = 1 en +∞ e y = x + 1 en −∞, con m = 1 y n = 1.
Pregunta 2.1
Se considera la función real de variable real definida por la siguiente expresión: f(x) = (x² + 1)/(x − 1) si x ≤ 0; f(x) = (x + a)/(x + 1) si x > 0, con a ∈ ℝ.
- a)Determine el valor del parámetro real a para que la función sea continua en x = 0. (1 p)
- b)Calcule las asíntotas de f(x). (1,5 p)
Con el examen se entrega: Tabla de la distribución normal N(0; 1).
Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 · Ordinaria · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UCM. Solución verificada con sus criterios.
Examen oficial en PDF (ucm.es)Corregir con foto abre muy pronto
Dónde están los puntos
Así reparte el tribunal 2,5 puntos. Más de la mitad está en dos criterios: aplicación correcta de la definición de continuidad en x = 0 y cálculo correcto de la asíntota oblicua en −∞.
- 01a) Aplicación correcta de la definición de continuidad en x = 00,75
- 02a) Cálculo correcto del valor del parámetro a0,25
- 03b) Justificación correcta de la no existencia de asíntotas verticales0,25
- 04b) Cálculo correcto de la asíntota horizontal en +∞0,5
- 05b) Cálculo correcto de la asíntota oblicua en −∞0,75
Criterio general: La calificación debe hacerse en múltiplos de 0,25 puntos.
Inténtalo primero
Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.
Pista 1 · ¿Qué exige la continuidad en x = 0?
Para la continuidad, mira en qué trozo cae x = 0 y compara los dos límites laterales con f(0).
Pista 2 · ¿Qué trozo manda en cada dirección?
Para las asíntotas, estudia cada trozo solo donde está definido: los ceros de cada denominador y el comportamiento en +∞ y en −∞ dependen del trozo que manda.
Solución paso a paso
Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.
01a · Iguala los límites laterales con f(0)Tribunal: aplicación correcta de la definición de continuidad en x = 00,75
f es continua en x = 0 si existen los dos límites laterales, coinciden y valen f(0). Como x = 0 cumple x ≤ 0, f(0) se calcula con el primer trozo: f(0) = (0 + 1)/(0 − 1) = −1. Por la izquierda, el límite de (x² + 1)/(x − 1) es −1; por la derecha, el de (x + a)/(x + 1) es a/1 = a.
02a · Despeja el parámetroTribunal: cálculo correcto del valor del parámetro a0,25
Igualando el límite por la derecha con −1, a = −1. Con ese valor, para x > 0 la función es f(x) = (x − 1)/(x + 1) y los tres valores coinciden: f es continua en x = 0.
03b · Justifica que no hay asíntotas verticalesTribunal: justificación correcta de la no existencia de asíntotas verticales0,25
Las candidatas son los ceros de los denominadores, pero cada uno cae fuera de su trozo. x − 1 = 0 en x = 1, y ese trozo solo se usa para x ≤ 0; x + 1 = 0 en x = −1, y ese trozo solo se usa para x > 0. Ningún límite es infinito, así que no hay asíntotas verticales, sea cual sea a: en x = 0 los dos límites laterales son finitos.
04b · Calcula la asíntota horizontal en +∞Tribunal: cálculo correcto de la asíntota horizontal en +∞0,5
Hacia +∞ manda el segundo trozo, un cociente de dos polinomios de grado 1 con coeficientes principales 1 y 1: el límite es 1, sea cual sea a. La asíntota horizontal en +∞ es y = 1. Hacia −∞ el primer trozo tiende a −∞, así que allí no hay horizontal.
05b · Calcula la asíntota oblicua en −∞Tribunal: cálculo correcto de la asíntota oblicua en −∞0,75
Hacia −∞ manda el primer trozo, con el numerador un grado mayor que el denominador: hay asíntota oblicua y = mx + n. La pendiente es m = lim f(x)/x = lim (x² + 1)/(x² − x) = 1. La ordenada es n = lim (f(x) − x) = lim (x + 1)/(x − 1) = 1, porque x² + 1 − x(x − 1) = x + 1. La asíntota oblicua en −∞ es y = x + 1; lo confirma la división, que da cociente x + 1 y resto 2.
Error típico
Cambiar el signo de la ordenada en el origen
Lo que se suele escribir: y = x − 1. Lo correcto: y = x + 1
Equivocar el signo de la ordenada n. Al restar x a (x² + 1)/(x − 1) hay que multiplicar x por todo el denominador: x(x − 1) = x² − x, y al restarlo el término −x cambia de signo y queda x + 1 en el numerador. Así n = 1, no −1. Si haces la división de polinomios, comprueba el cociente multiplicando: (x − 1)(x + 1) + 2 = x² + 1.
Cuesta los puntos de «cálculo correcto de la asíntota oblicua en −∞»: 0,75 puntos de 2,5.
Márcate con los criterios del tribunal
Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.
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Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?
2,5 puntos de 10. En la pregunta 2 eliges una de dos opciones: la 2.1 o la 2.2.
¿La solución es oficial?
No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.
¿Dónde está el enunciado original?
En el PDF oficial (ucm.es): el enunciado en la página 1 y los criterios de corrección en la página 6.
Fuente
Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 · Ordinaria · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UCM. Publicado en ucm.es, consultado el 19 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.