PAU Madrid 2025 · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · Ordinaria

Pregunta 4.2: tres sucesos: unión, leyes de De Morgan e independencia de sucesos disjuntos

Tema · Probabilidad
Opcional · 4.2 o 4.1
Solución verificada

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a)P(A ∪ B) = 0,4: se resta P(A ∩ B) = 0,25·0,2 = 0,05.
b)P(Bᶜ ∪ Cᶜ) = 0,95: por De Morgan, 1 − P(B ∩ C).
c)A y C no pueden ser independientes: P(A ∩ C) = 0, pero P(A)·P(C) > 0 porque P(C) ≥ P(B ∩ C) = 0,05.

Pregunta 4.2

PAU Madrid 2025 · OrdinariaProbabilidad2,5 puntos

De tres sucesos A, B y C se sabe que A y C son sucesos disjuntos, A y B son independientes y se tienen las siguientes probabilidades: P(A) = 0,25, P(B) = 0,2 y P(B ∩ C) = 0,05.

a)Calcule la probabilidad de que ocurra al menos uno de los sucesos A o B. (1 p)
b)Calcule P(Bᶜ ∪ Cᶜ). (1 p)
c)¿Pueden ser independientes los sucesos A y C? (0,5 p)

Con el examen se entrega: Tabla de la distribución normal N(0; 1).

Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 · Ordinaria · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UCM. Solución verificada con sus criterios.

Examen oficial en PDF (ucm.es)

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Dónde están los puntos

Así reparte el tribunal 2,5 puntos.

Los criterios, a escala2,5puntos

Criterios oficialesPuntos

01a) Planteamiento correcto de la probabilidad0,5
02a) Cálculo correcto de la probabilidad0,5
03b) Planteamiento correcto de la probabilidad0,5
04b) Cálculo correcto de la probabilidad0,5
05c) Justificación correcta de la dependencia de los sucesos0,5

Criterio general: La calificación debe hacerse en múltiplos de 0,25 puntos.

Inténtalo primero

Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.

Pista 1 · ¿Qué significan «disjuntos» e «independientes»?

Traduce cada dato del enunciado: «disjuntos» e «independientes» te dicen cuánto valen dos intersecciones.

Pista 2 · ¿De qué es complementario Bᶜ ∪ Cᶜ?

En b), busca de qué suceso es complementario Bᶜ ∪ Cᶜ; en c), compara P(A ∩ C) con P(A)·P(C).

Solución paso a paso

Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.

01a · Plantea la unión usando la independenciaTribunal: planteamiento correcto de la probabilidad0,5
«Al menos uno de A o B» es la unión A ∪ B. Como A y B pueden ocurrir a la vez, restas la intersección: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). Al ser independientes, P(A ∩ B) = P(A)·P(B).
$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B), P (A \cap B) = P (A) P (B)$
Tribunal
Planteamiento correcto de la probabilidad: 0,50 puntos.
0,5de 2,5
02a · Calcula la probabilidadTribunal: cálculo correcto de la probabilidad0,5
P(A ∩ B) = 0,25·0,2 = 0,05, así que P(A ∪ B) = 0,25 + 0,2 − 0,05 = 0,4.
$P (A \cup B) = 0,25 + 0,2 - 0,25 \cdot 0,2 = 0,4$
Tribunal
Cálculo correcto de la probabilidad: 0,50 puntos.
0,5de 2,5
03b · Aplica la ley de De MorganTribunal: planteamiento correcto de la probabilidad0,5
Aunque puedes calcular P(Bᶜ) = 1 − 0,2 = 0,8, no conoces P(Cᶜ); aplica De Morgan para aprovechar directamente P(B ∩ C). La ley dice que Bᶜ ∪ Cᶜ = (B ∩ C)ᶜ: «no ocurre B o no ocurre C» es lo contrario de «ocurren los dos». Así que P(Bᶜ ∪ Cᶜ) = 1 − P(B ∩ C).
$P (B^{c} \cup C^{c}) = P ((B \cap C)^{c}) = 1 - P (B \cap C)$
Tribunal
Planteamiento correcto de la probabilidad: 0,50 puntos.
0,5de 2,5
04b · Calcula la probabilidadTribunal: cálculo correcto de la probabilidad0,5
P(Bᶜ ∪ Cᶜ) = 1 − 0,05 = 0,95. Tiene sentido: B y C coinciden solo en un 5 % de los casos, así que en el 95 % restante falla al menos uno de los dos.
$P (B^{c} \cup C^{c}) = 1 - 0,05 = 0,95$
Tribunal
Cálculo correcto de la probabilidad: 0,50 puntos.
0,5de 2,5
05c · Justifica que A y C son dependientesTribunal: justificación correcta de la dependencia de los sucesos0,5
A y C son independientes si P(A ∩ C) = P(A)·P(C). Por ser disjuntos, P(A ∩ C) = 0. En cambio, P(A) = 0,25 > 0 y P(C) ≥ P(B ∩ C) = 0,05 > 0, porque B ∩ C está contenido en C; luego P(A)·P(C) ≥ 0,0125 > 0. Como 0 ≠ P(A)·P(C), A y C no pueden ser independientes.
$P (A \cap C) = 0 < 0,25 \cdot 0,05 \leq P (A) P (C)$
Tribunal
Justificación correcta de la dependencia de los sucesos: 0,50 puntos.
0,5de 2,5

Error típico

Creer que dos sucesos disjuntos son independientes

Lo que se suele escribir: ~~P(A ∩ C) = P(A)·P(C)~~. Lo correcto: P(A ∩ C) = 0 < P(A)·P(C)

En c) se suele responder que A y C son independientes «porque no tienen nada en común». Es al revés: si son disjuntos y los dos tienen probabilidad positiva, saber que ocurre A te asegura que no ocurre C, y eso es dependencia. La comprobación es numérica: P(A ∩ C) = 0 no coincide con P(A)·P(C) > 0. En a), no olvides restar P(A ∩ B) = 0,05: sin restarla saldría 0,45.

Cuesta los puntos de «justificación correcta de la dependencia de los sucesos»: 0,5 puntos de 2,5.

Márcate con los criterios del tribunal

Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.

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Preguntas frecuentes

¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?

2,5 puntos de 10. En la pregunta 4 eliges una de dos opciones: la 4.2 o la 4.1.

¿La solución es oficial?

No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.

¿Dónde está el enunciado original?

En el PDF oficial (ucm.es): el enunciado en la página 2 y los criterios de corrección en la página 7.

Fuente

Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 · Ordinaria · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UCM. Publicado en ucm.es, consultado el 19 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.