PAU Madrid 2025 · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · Ordinaria
Pregunta 3.2: peso de las pastillas de jabón: intervalo de confianza y distribución de la media muestral
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- a)(118,47; 131,53) g: x̄ = 125 g, z_(α/2) = 2,575 y E ≈ 6,53 g, con E = z_(α/2)·30/√140.
- b)P(X̄ > 110) ≈ 0,0038: X̄ ~ N(100; 3,75), pues σ/√64 = 30/8, y tipificando queda P(Z > 2,67).
Pregunta 3.2
Para poder participar en el concurso «Mejor Jabón Artesano del año» es necesario pasar un control de calidad muy exigente. El peso de las pastillas de jabón de este artesano se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media μ gramos y desviación típica 30 gramos.
- a)La empresa organizadora del concurso seleccionó 140 pastillas de jabón de este artesano y obtuvo que el peso total fue de 17500 gramos. Obtenga un intervalo de confianza del 99 % para estimar el peso medio μ de las pastillas de jabón de este artesano. (1,25 p)
- b)Si el verdadero valor de μ fuera igual a 100 gramos, ¿cuál sería la probabilidad de que el peso medio de 64 pastillas de jabón de una muestra aleatoria simple fuera superior a 110 gramos? (1,25 p)
Con el examen se entrega: Tabla de la distribución normal N(0; 1).
Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 · Ordinaria · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UCM. Solución verificada con sus criterios.
Examen oficial en PDF (ucm.es)Corregir con foto abre muy pronto
Dónde están los puntos
Así reparte el tribunal 2,5 puntos.
- 01a) Determinación del peso medio muestral0,25
- 02a) Determinación del valor z_(α/2)0,25
- 03a) Aplicación de la fórmula del error y obtención del mismo0,5
- 04a) Determinación correcta del intervalo de confianza0,25
- 05b) Determinación de la distribución de la media muestral0,25
- 06b) Planteamiento de la probabilidad pedida0,25
- 07b) Cálculo correcto de la probabilidad0,75
Criterio general: La calificación debe hacerse en múltiplos de 0,25 puntos.
Inténtalo primero
Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.
Pista 1 · ¿Dónde está la media muestral?
En a), el enunciado te da el peso total, no la media; después necesitas el valor crítico del 99 % en la tabla de la normal.
Pista 2 · ¿Cómo se distribuye la media muestral?
En b), piensa qué distribución sigue la media de una muestra de 64 pastillas: su desviación típica no es la de una sola pastilla.
Solución paso a paso
Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.
01a · Calcula el peso medio de la muestraTribunal: determinación del peso medio muestral0,25
El enunciado no te da la media, sino el peso total de las 140 pastillas. La media muestral es ese total entre el número de pastillas: x̄ = 17500/140 = 125 gramos. Es el centro del intervalo.
02a · Busca el valor crítico para el 99 %Tribunal: determinación del valor z_(α/2)0,25
Con 1 − α = 0,99, α = 0,01 y α/2 = 0,005. Buscas z con P(Z ≤ z) = 1 − 0,005 = 0,995. En la tabla, Φ(2,57) = 0,9949 y Φ(2,58) = 0,9951, así que tomas el punto medio: z_(α/2) = 2,575.
03a · Aplica la fórmula del errorTribunal: aplicación de la fórmula del error y obtención del mismo0,5
La población es normal con σ = 30 conocida, así que el error máximo es E = z_(α/2)·σ/√n. Con n = 140, E = 2,575·30/√140 = 77,25/11,832 ≈ 6,53 gramos.
04a · Construye el intervalo de confianzaTribunal: determinación correcta del intervalo de confianza0,25
El intervalo es x̄ ± E: (125 − 6,53; 125 + 6,53) = (118,47; 131,53) gramos. Con un 99 % de confianza, el peso medio μ de las pastillas de este artesano está entre 118,47 y 131,53 gramos.
05b · Escribe la distribución de la media muestralTribunal: determinación de la distribución de la media muestral0,25
Como el peso de cada pastilla es normal, la media de una muestra aleatoria simple de tamaño n también lo es, con la misma media μ y desviación típica σ/√n. Con μ = 100 y n = 64: σ/√64 = 30/8 = 3,75, así que X̄ ~ N(100; 3,75).
06b · Plantea la probabilidad y tipificaTribunal: planteamiento de la probabilidad pedida0,25
Te piden P(X̄ > 110). Tipificas con la media y la desviación típica de X̄, no con las de una pastilla: z = (110 − 100)/3,75 = 8/3 ≈ 2,67, redondeado a dos decimales para usar la tabla. Queda P(X̄ > 110) = P(Z > 8/3) ≈ P(Z > 2,67).
07b · Calcula la probabilidad con la tablaTribunal: cálculo correcto de la probabilidad0,75
La tabla da P(Z ≤ z), así que pasas al complementario: P(Z > 2,67) = 1 − P(Z ≤ 2,67) = 1 − 0,9962 = 0,0038. Es muy improbable: una media de 110 gramos con muestras de 64 pastillas está a más de dos desviaciones típicas y media de 100.
Error típico
Tipificar la media con la desviación de una pastilla
Lo que se suele escribir: X̄ ~ N(100; 30). Lo correcto: X̄ ~ N(100; 3,75)
El fallo más caro en b) es tipificar con σ = 30, la desviación típica de una sola pastilla, en lugar de con la de la media de 64 pastillas, que es 30/√64 = 3,75. Con 30 sale P(Z > 0,33) ≈ 0,3707, un resultado cien veces mayor. Escribe primero la distribución de X̄ y tipifica con ella. En a), recuerda dividir el peso total entre 140 antes de nada.
Cuesta los puntos de «determinación de la distribución de la media muestral»: 0,25 puntos de 2,5.
Márcate con los criterios del tribunal
Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.
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Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?
2,5 puntos de 10. En la pregunta 3 eliges una de dos opciones: la 3.2 o la 3.1.
¿La solución es oficial?
No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.
¿Dónde está el enunciado original?
En el PDF oficial (ucm.es): el enunciado en la página 2 y los criterios de corrección en la página 7.
Fuente
Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 · Ordinaria · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UCM. Publicado en ucm.es, consultado el 19 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.