PAU Madrid 2025 · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · Ordinaria · incidencias
Pregunta 3.2: alturas de estudiantes: tamaño de la muestra a partir de un intervalo y probabilidad normal
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- a)n = 196 chicas: el intervalo da x̄ = 170 y E = 1,175 cm; con z_(α/2) = 1,645, √n = 16,45/1,175 = 14.
- b)P(165 ≤ X ≤ 170) ≈ 0,1972: con N(168; 10), P(−0,3 ≤ Z ≤ 0,2) = 0,5793 − 0,3821.
Pregunta 3.2
En cierta provincia española se sabe que la altura de las estudiantes de segundo de Bachillerato se puede aproximar por una distribución normal de media μ centímetros y desviación típica σ = 10 centímetros.
- a)Se toma una muestra aleatoria de chicas de segundo de Bachillerato de la provincia y se obtiene su altura media. Calculado el correspondiente intervalo de confianza para μ, este resulta (168,825; 171,175) a un nivel de confianza del 90 %. ¿Cuál ha sido en este caso el tamaño muestral elegido? (1,25 p)
- b)Supuesto que el verdadero valor del parámetro es μ = 168 centímetros, calcule la probabilidad de que elegida al azar una chica de segundo de Bachillerato de la provincia mida entre 165 y 170 centímetros (ambos incluidos). (1,25 p)
Con el examen se entrega: Tabla de la distribución normal N(0; 1).
Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 · Ordinaria (incidencias) · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UCM. Solución verificada con sus criterios.
Examen oficial en PDF (ucm.es)Corregir con foto abre muy pronto
Dónde están los puntos
Así reparte el tribunal 2,5 puntos.
- 01a) Determinación del valor crítico z_(α/2)0,25
- 02a) Determinación correcta del error0,5
- 03a) Cálculo correcto del tamaño de la muestra0,5
- 04b) Planteamiento correcto de la probabilidad0,75
- 05b) Cálculo correcto de la probabilidad pedida0,5
Criterio general: La calificación debe hacerse en múltiplos de 0,25 puntos.
Inténtalo primero
Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.
Pista 1 · ¿Qué te dicen los extremos del intervalo?
Un intervalo de confianza para la media es x̄ ± E: de sus dos extremos sacas la media muestral y el error, y después despejas n de la fórmula del error.
Pista 2 · ¿Una chica o una media muestral?
En el apartado b) se pregunta por una sola chica, no por una media muestral: tipifica con la desviación típica de la población y usa la simetría de la normal para el extremo negativo.
Solución paso a paso
Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.
01a · Busca z_(α/2) para el 90 %Tribunal: determinación del valor crítico z_(α/2)0,25
Con un 90 % de confianza, α = 0,10 y α/2 = 0,05. Buscas en la tabla el valor que deja a su izquierda 1 − 0,05 = 0,95 de área: está entre 1,64 (0,9495) y 1,65 (0,9505), así que se toma el punto medio, z_(α/2) = 1,645.
02a · Saca la media y el error del intervaloTribunal: determinación correcta del error0,5
El intervalo es (x̄ − E, x̄ + E): su centro es la media muestral y su semiamplitud, el error. x̄ = (168,825 + 171,175)/2 = 170 y E = (171,175 − 168,825)/2 = 1,175 cm. El error es la mitad del ancho, no el ancho entero (2,35).
03a · Despeja n de la fórmula del errorTribunal: cálculo correcto del tamaño de la muestra0,5
Con σ = 10 conocida, E = z_(α/2) · σ/√n, así que 1,175 = 1,645 · 10/√n. Despejando, √n = 16,45/1,175 = 14 y n = 14² = 196 chicas. Comprobación: 1,645 · 10/14 = 1,175, justo el error del intervalo.
04b · Tipifica los dos extremosTribunal: planteamiento correcto de la probabilidad0,75
Ahora se pregunta por una sola chica, así que X = altura de una chica sigue la N(168; 10) de la población, sin dividir σ entre √n. Restas la media y divides entre 10 en los dos extremos: P(165 ≤ X ≤ 170) = P(−0,3 ≤ Z ≤ 0,2). Que los extremos estén incluidos no cambia nada en una variable continua.
05b · Calcula con la tabla y la simetríaTribunal: cálculo correcto de la probabilidad pedida0,5
La tabla solo da valores positivos, así que el extremo negativo se resuelve por simetría: P(Z ≤ −0,3) = 1 − P(Z ≤ 0,3) = 1 − 0,6179 = 0,3821. Entonces P = 0,5793 − 0,3821 = 0,1972: cerca de una de cada cinco chicas mide entre 165 y 170 cm.
Error típico
Tipificar con σ/√n para una sola chica
Lo que se suele escribir: Z = (170 − 168)/(10/14). Lo correcto: Z = (170 − 168)/10
Arrastrar al apartado b) el tamaño muestral del a) y tipificar con σ/√n = 10/14. Eso sería la distribución de la media de 196 chicas, pero aquí se elige una sola chica: su altura sigue la N(168; 10) de la población. Con 10/14 los extremos se tipifican mal (−4,2 y 2,8) y la probabilidad sale casi 1. Antes de tipificar, pregúntate si la variable es una altura o una media de alturas.
Cuesta los puntos de «planteamiento correcto de la probabilidad»: 0,75 puntos de 2,5.
Márcate con los criterios del tribunal
Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.
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Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?
2,5 puntos de 10. En la pregunta 3 eliges una de dos opciones: la 3.2 o la 3.1.
¿La solución es oficial?
No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.
¿Dónde está el enunciado original?
En el PDF oficial (ucm.es): el enunciado en la página 2 y los criterios de corrección en la página 5.
Fuente
Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 · Ordinaria (incidencias) · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UCM. Publicado en ucm.es, consultado el 19 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.