PAU Madrid 2025 · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · Ordinaria · incidencias

Pregunta 2.2: dominio, asíntotas y monotonía de una función racional

Tema · Funciones y derivadas
Concepto · Derivada y recta tangente
Opcional · 2.2 o 2.1
Solución verificada

En breveOcultar para practicarMostrar el resultado

a)Dom f = ℝ − {1}, asíntota vertical x = 1, no tiene asíntota horizontal y asíntota oblicua y = x + 2, cociente de x³ ÷ (x − 1)².
b)crece en (−∞, 1) ∪ (3, +∞), decrece en (1, 3) y no tiene máximo en x = 0: f′(x) = x²(x − 3)/(x − 1)³ y es positiva a ambos lados de 0.

Pregunta 2.2

PAU Madrid 2025 · Ordinaria · incidenciasAnálisis2,5 puntos

Se considera la función real de variable real definida por f(x) = x³/(x − 1)².

a)Determine el dominio y las asíntotas de la función. (1,25 p)
b)Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento. ¿La función f(x) alcanza un máximo en el punto de abscisa x = 0? Justifique la respuesta. (1,25 p)

Con el examen se entrega: Tabla de la distribución normal N(0; 1).

Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 · Ordinaria (incidencias) · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UCM. Solución verificada con sus criterios.

Examen oficial en PDF (ucm.es)

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Dónde están los puntos

Así reparte el tribunal 2,5 puntos.

Los criterios, a escala2,5puntos

Criterios oficialesPuntos

01a) Cálculo correcto del dominio0,25
02a) Cálculo correcto de la asíntota vertical0,25
03a) Justificación correcta de la no existencia de asíntota horizontal0,25
04a) Cálculo correcto de la asíntota oblicua0,5
05b) Cálculo correcto de la derivada0,5
06b) Obtención de los intervalos de crecimiento y decrecimiento0,5
07b) Justificación correcta de la no existencia de un máximo en x = 00,25

Criterio general: La calificación debe hacerse en múltiplos de 0,25 puntos.

Inténtalo primero

Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.

Pista 1 · ¿Dónde buscar las asíntotas?

Para las asíntotas, mira dónde se anula el denominador y compara el grado del numerador con el del denominador.

Pista 2 · ¿Basta con que la derivada se anule?

Para la monotonía, factoriza la derivada y estudia su signo en cada intervalo, sin olvidar el punto que no está en el dominio; para hablar de máximo, fíjate en el signo de f′ a los dos lados del punto.

Solución paso a paso

Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.

01a · Excluye los ceros del denominadorTribunal: cálculo correcto del dominio0,25
Un cociente de polinomios está definido salvo donde se anula el denominador. (x − 1)² = 0 solo en x = 1, así que Dom f = ℝ − {1}.
Tribunal
Cálculo correcto del dominio: 0,25 puntos.
0,25de 2,5
02a · Calcula el límite en x = 1Tribunal: cálculo correcto de la asíntota vertical0,25
En x = 1 el numerador vale 1 y el denominador tiende a 0 por valores positivos, porque está al cuadrado. El límite es +∞ por los dos lados, así que x = 1 es asíntota vertical.
$\lim_{x \to 1^{\pm}} \frac{x^{3}}{{(x - 1)}^{2}} = \frac{1}{0^{+}} = + \infty$
Tribunal
Cálculo correcto de la asíntota vertical: 0,25 puntos.
0,25de 2,5
03a · Justifica que no hay asíntota horizontalTribunal: justificación correcta de la no existencia de asíntota horizontal0,25
El numerador tiene grado 3 y el denominador grado 2: el cociente se comporta como x en el infinito. Por eso f tiende a +∞ cuando x → +∞ y a −∞ cuando x → −∞; ninguno de los dos límites es finito y no hay asíntota horizontal.
$\lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^{3}}{x^{2} - 2 x + 1} = \pm \infty$
Tribunal
Justificación correcta de la no existencia de asíntota horizontal: 0,25 puntos.
0,25de 2,5
04a · Calcula la pendiente y la ordenada de la oblicuaTribunal: cálculo correcto de la asíntota oblicua0,5
Como el grado del numerador supera en uno al del denominador, hay asíntota oblicua y = mx + n, la misma en +∞ y en −∞. La pendiente es m = lim f(x)/x = lim x²/(x² − 2x + 1) = 1. La ordenada es n = lim (f(x) − x) = lim (2x² − x)/(x² − 2x + 1) = 2. La asíntota oblicua es y = x + 2; lo confirma la división de x³ entre x² − 2x + 1, con cociente x + 2 y resto 3x − 2.
$m = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^{3}}{x {(x - 1)}^{2}} = 1$
$n = \lim_{x \to \pm \infty} (\frac{x^{3}}{{(x - 1)}^{2}} - x) = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2 x^{2} - x}{x^{2} - 2 x + 1} = 2$
Tribunal
Cálculo correcto de la asíntota oblicua: 0,50 puntos.
0,5de 2,5
05b · Deriva con la regla del cociente y factorizaTribunal: cálculo correcto de la derivada0,5
Con la regla del cociente, f′(x) = [3x²(x − 1)² − 2x³(x − 1)]/(x − 1)⁴. Saca factor común x²(x − 1) en el numerador y simplifica una vez (x − 1): queda f′(x) = x²(x − 3)/(x − 1)³. Factorizada así, el signo se lee directamente.
$f^{'} (x) = \frac{3 x^{2} {(x - 1)}^{2} - 2 x^{3} (x - 1)}{{(x - 1)}^{4}} = \frac{x^{2} (x - 3)}{{(x - 1)}^{3}}$
Tribunal
Cálculo correcto de la derivada: 0,50 puntos.
0,5de 2,5
06b · Estudia el signo de f′ por intervalosTribunal: obtención de los intervalos de crecimiento y decrecimiento0,5
f′ se anula en x = 0 y x = 3, y x = 1 no está en el dominio: esos tres puntos parten la recta. El factor x² nunca es negativo, así que el signo lo deciden x − 3 y (x − 1)³. En (−∞, 1) los dos son negativos: en (−∞, 0) y (0, 1), f′ > 0 (por ejemplo, f′(−1) = 1/2), mientras que f′(0) = 0; f sigue siendo creciente en todo (−∞, 1); en (1, 3), f′ < 0 (f′(2) = −4); en (3, +∞), f′ > 0. Por tanto, f crece en (−∞, 1) ∪ (3, +∞) y decrece en (1, 3).
Tribunal
Obtención de los intervalos de crecimiento y decrecimiento: 0,50 puntos.
0,5de 2,5
07b · Mira el signo de f′ a los dos lados de 0Tribunal: justificación correcta de la no existencia de un máximo en x = 00,25
Aunque f′(0) = 0, la derivada es positiva justo a la izquierda y justo a la derecha de 0 (f′(1/2) = 5): f crece antes y después. Para que hubiera máximo, f tendría que pasar de crecer a decrecer, así que en x = 0 no hay máximo; la tangente es horizontal, pero la función sigue creciendo.
Tribunal
Justificación correcta de la no existencia de un máximo en x = 0: 0,25 puntos.
0,25de 2,5

Error típico

Confundir derivada nula con máximo

Lo que se suele escribir: ~~f′(0) = 0 → máximo en x = 0~~. Lo correcto: f′ > 0 antes y después de 0

Dar por hecho que hay un máximo en x = 0 porque la derivada se anula allí. f′(0) = 0 solo dice que la tangente es horizontal; el extremo lo decide el cambio de signo. Como el factor x² no cambia de signo, f′ es positiva a los dos lados de 0 y la función sigue creciendo: no hay ni máximo ni mínimo. Justifícalo siempre con el signo de f′ antes y después del punto.

Cuesta los puntos de «justificación correcta de la no existencia de un máximo en x = 0»: 0,25 puntos de 2,5.

Márcate con los criterios del tribunal

Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.

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Preguntas frecuentes

¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?

2,5 puntos de 10. En la pregunta 2 eliges una de dos opciones: la 2.2 o la 2.1.

¿La solución es oficial?

No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.

¿Dónde está el enunciado original?

En el PDF oficial (ucm.es): el enunciado en la página 1 y los criterios de corrección en la página 4.

Fuente

Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 · Ordinaria (incidencias) · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UCM. Publicado en ucm.es, consultado el 19 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.