PAU Madrid 2025 · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · Ordinaria · incidencias

Pregunta 4.2: mitienda: probabilidad total y teorema de Bayes

Tema · Probabilidad
Concepto · Teorema de Bayes
Opcional · 4.2 o 4.1
Solución verificada

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a)P(C) = 0,146: por probabilidad total, 0,5 · 0,2 + 0,3 · 0,1 + 0,2 · 0,08 = 0,1 + 0,03 + 0,016.
b)P(M₂ ∪ M₃ | C) = 23/73 ≈ 0,3151: por Bayes, (0,03 + 0,016)/0,146 = 0,046/0,146.

Pregunta 4.2

PAU Madrid 2025 · Ordinaria · incidenciasProbabilidad2,5 puntos

Los clientes potenciales de un comercio local, Mitienda, vienen de alguno de los municipios M₁, M₂ o M₃. En M₁ el 20 % de la población compra en Mitienda, siendo estos porcentajes del 10 % en M₂ y del 8 % en M₃. Además se sabe que el 50 % de la población vive en M₁, el 30 % en M₂ y el 20 % en M₃.

a)Se elige al azar un habitante de uno de los tres municipios. Calcule la probabilidad de que compre en Mitienda. (1,25 p)
b)Se elige al azar un individuo que ha comprado en Mitienda. Obtenga la probabilidad de que sea de los municipios M₂ o M₃. (1,25 p)

Con el examen se entrega: Tabla de la distribución normal N(0; 1).

Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 · Ordinaria (incidencias) · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UCM. Solución verificada con sus criterios.

Examen oficial en PDF (ucm.es)

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Dónde están los puntos

Así reparte el tribunal 2,5 puntos. Más de la mitad está en dos criterios: planteamiento correcto de la probabilidad y planteamiento correcto de la probabilidad.

Los criterios, a escala2,5puntos

Criterios oficialesPuntos

01a) Planteamiento correcto de la probabilidad0,75
02a) Cálculo correcto de la probabilidad0,5
03b) Planteamiento correcto de la probabilidad0,75
04b) Cálculo correcto de la probabilidad0,5

Penalización: No definir los sucesos (−0,25).

Criterio general: La calificación debe hacerse en múltiplos de 0,25 puntos.

Inténtalo primero

Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.

Pista 1 · ¿Cómo organizas los datos?

Define los sucesos y organiza los datos en un diagrama de árbol: primera rama, el municipio; segunda, si compra o no.

Pista 2 · ¿Qué se sabe ya en el b)?

En el apartado b) ya se sabe que la persona ha comprado: esa información va detrás de la barra de la condicionada.

Solución paso a paso

Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.

01a · Define los sucesos y plantea la probabilidad totalTribunal: planteamiento correcto de la probabilidad0,75
Escribe los sucesos antes de operar: Mᵢ = «la persona vive en el municipio Mᵢ» y C = «la persona compra en Mitienda». Los datos son P(M₁) = 0,5, P(M₂) = 0,3, P(M₃) = 0,2 y P(C | M₁) = 0,2, P(C | M₂) = 0,1, P(C | M₃) = 0,08. Como M₁, M₂ y M₃ cubren a toda la población sin solaparse, P(C) es la suma de cada rama del árbol: P(Mᵢ) · P(C | Mᵢ).
$P (C) = P (M_{1}) P (C | M_{1}) + P (M_{2}) P (C | M_{2}) + P (M_{3}) P (C | M_{3})$
Tribunal
Planteamiento correcto de la probabilidad: 0,75 puntos. … La NO definición de los sucesos se penalizará con 0,25 puntos en la puntuación total de la pregunta.
0,75de 2,5
02a · Suma las tres ramasTribunal: cálculo correcto de la probabilidad0,5
P(C) = 0,5 · 0,2 + 0,3 · 0,1 + 0,2 · 0,08 = 0,1 + 0,03 + 0,016 = 0,146. Es decir, el 14,6 % de los habitantes de los tres municipios compra en Mitienda.
$P (C) = 0,5 \cdot 0,2 + 0,3 \cdot 0,1 + 0,2 \cdot 0,08 = 0,146$
Tribunal
Cálculo correcto de la probabilidad: 0,50 puntos.
0,5de 2,5
03b · Plantea Bayes con la condición en CTribunal: planteamiento correcto de la probabilidad0,75
Ahora se sabe que la persona ha comprado: se pide P(M₂ ∪ M₃ | C). M₂ y M₃ son incompatibles, así que es P(M₂ | C) + P(M₃ | C), y cada una sale por Bayes: la rama de ese municipio dividida entre P(C), que ya tienes del a).
$P (M_{2} \cup M_{3} | C) = \frac{P (M_{2}) P (C | M_{2}) + P (M_{3}) P (C | M_{3})}{P (C)}$
Tribunal
Planteamiento correcto de la probabilidad: 0,75 puntos.
0,75de 2,5
04b · Divide entre P(C)Tribunal: cálculo correcto de la probabilidad0,5
P(M₂ ∪ M₃ | C) = (0,03 + 0,016)/0,146 = 0,046/0,146 = 23/73 ≈ 0,3151. Comprobación por el complementario: P(M₁ | C) = 0,1/0,146 ≈ 0,6849 y 1 − 0,6849 = 0,3151.
$P (M_{2} \cup M_{3} | C) = \frac{0,03 + 0,016}{0,146} = \frac{23}{73} \approx 0,3151$
Tribunal
Cálculo correcto de la probabilidad: 0,50 puntos.
0,5de 2,5

Error típico

Olvidar dividir entre P(C)

Lo que se suele escribir: ~~P(M₂ ∪ M₃ | C) = 0,046~~. Lo correcto: P(M₂ ∪ M₃ | C) = 0,046/0,146

Quedarse en el numerador de Bayes y dar 0,046. Ese número es P((M₂ ∪ M₃) ∩ C): la probabilidad de que un habitante cualquiera sea de M₂ o M₃ y además compre. Pero el enunciado elige a alguien que ya ha comprado, así que hay que dividir entre P(C) = 0,146. Si la condición está detrás de la barra, siempre hay un denominador.

Cuesta los puntos de «planteamiento correcto de la probabilidad»: 0,75 puntos de 2,5.

Márcate con los criterios del tribunal

Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.

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Preguntas frecuentes

¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?

2,5 puntos de 10. En la pregunta 4 eliges una de dos opciones: la 4.2 o la 4.1.

¿La solución es oficial?

No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.

¿Dónde está el enunciado original?

En el PDF oficial (ucm.es): el enunciado en la página 2 y los criterios de corrección en la página 5.

Fuente

Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 · Ordinaria (incidencias) · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UCM. Publicado en ucm.es, consultado el 19 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.