PAU Madrid 2025 · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · Ordinaria · incidencias
Pregunta 2.1: integral con parámetro, recta tangente y límite de una función polinómica
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- a)a = 3: ∫₂³ f(x) dx = (23 − 6a)/12 = 5/12.
- b)Sí, es continua en ℝ para todo a (polinómica); si a = 1, f′(2) = 3/2 da la tangente y = (3/2)x − 5/2.
- c)lím = 0: el denominador, 10x³, tiene más grado que el numerador.
Pregunta 2.1
Se considera la función real de variable real definida por f(x) = (x² − x − a)/2, a ∈ ℝ.
- a)Calcule el valor del parámetro a para que ∫₂³ f(x) dx = 5/12. (1 p)
- b)¿Es f(x) continua en su dominio para cualquier valor de a ∈ ℝ? Para a = 1 escriba la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto de abscisa x = 2. (1 p)
- c)Calcule el siguiente límite: lím_(x→∞) f(x)/(5x³). (0,5 p)
Con el examen se entrega: Tabla de la distribución normal N(0; 1).
Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 · Ordinaria (incidencias) · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UCM. Solución verificada con sus criterios.
Examen oficial en PDF (ucm.es)Corregir con foto abre muy pronto
Dónde están los puntos
Así reparte el tribunal 2,5 puntos.
- 01a) Cálculo correcto de la integral0,5
- 02a) Cálculo correcto del valor del parámetro a0,5
- 03b) Justificación correcta de la continuidad de la función0,25
- 04b) Determinación de la pendiente de la recta tangente0,25
- 05b) Expresión de la recta tangente en cualquiera de sus formas0,5
- 06c) Cálculo correcto del límite0,5
Criterio general: La calificación debe hacerse en múltiplos de 0,25 puntos.
Inténtalo primero
Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.
Pista 1 · ¿Cómo se trata a dentro de la integral?
En a) integra tratando a como un número fijo y aplica Barrow: te queda una ecuación de primer grado en a.
Pista 2 · ¿Qué piden la tangente y el límite?
En b) piensa qué tipo de función es f y recuerda que la tangente necesita un punto y una pendiente; en c) compara los grados del numerador y del denominador.
Solución paso a paso
Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.
01a · Calcula la integral en función de aTribunal: cálculo correcto de la integral0,5
Trata a como un número fijo y saca el ½ fuera de la integral. Una primitiva es F(x) = ½·(x³/3 − x²/2 − ax). Por Barrow, F(3) = ½·(9 − 9/2 − 3a) = ½·(9/2 − 3a) y F(2) = ½·(8/3 − 2 − 2a) = ½·(2/3 − 2a). Restando, la integral vale ½·(23/6 − a) = (23 − 6a)/12.
02a · Iguala a 5/12 y despeja aTribunal: cálculo correcto del valor del parámetro a0,5
Iguala el resultado al valor del enunciado: (23 − 6a)/12 = 5/12, así que 23 − 6a = 5 y a = 3. Comprueba sustituyendo: con a = 3 la integral vale (23 − 18)/12 = 5/12.
03b · Justifica la continuidadTribunal: justificación correcta de la continuidad de la función0,25
Sea cual sea a, f(x) = (x² − x − a)/2 es una función polinómica: su dominio es ℝ y los polinomios son continuos en todo ℝ. Así que sí, f es continua en su dominio para cualquier valor de a. Basta con decirlo con esa razón; no hace falta estudiar límites punto a punto.
04b · Calcula la pendiente de la tangente en x = 2Tribunal: determinación de la pendiente de la recta tangente0,25
Con a = 1, f(x) = (x² − x − 1)/2 y su derivada es f′(x) = (2x − 1)/2; el parámetro no aparece en la derivada porque −a/2 es una constante. La pendiente de la tangente en x = 2 es f′(2) = 3/2.
05b · Escribe la ecuación de la recta tangenteTribunal: expresión de la recta tangente en cualquiera de sus formas0,5
Falta el punto de tangencia: f(2) = (4 − 2 − 1)/2 = 1/2, así que la recta pasa por (2, 1/2). En forma punto-pendiente, y − 1/2 = (3/2)(x − 2), que despejada da y = (3/2)x − 5/2. Cualquiera de las dos formas vale. Comprueba: en x = 2 la recta da 3 − 5/2 = 1/2, el valor de f.
06c · Calcula el límiteTribunal: cálculo correcto del límite0,5
Sustituye f: f(x)/(5x³) = (x² − x − a)/(10x³). Es un cociente de polinomios con el numerador de grado 2 y el denominador de grado 3, así que el límite cuando x → ∞ es 0, para cualquier valor de a. Si quieres justificarlo paso a paso, divide numerador y denominador entre x³: queda (1/x − 1/x² − a/x³)/10, y cada término tiende a 0.
Error típico
Olvidar el factor ½ al integrar
Lo que se suele escribir: ∫₂³ f(x) dx = 23/6 − a. Lo correcto: ∫₂³ f(x) dx = (23 − 6a)/12
Integrar x² − x − a y olvidar el factor ½ que divide a toda la función. La integral sale entonces 23/6 − a en lugar de (23 − 6a)/12 y, al igualarla a 5/12, el valor de a ya no es 3: se pierden los puntos de la integral y los del parámetro. Saca el ½ fuera de la integral desde el principio y no lo sueltes al aplicar Barrow; sustituir el a que obtengas en la integral te confirma si has acertado.
Cuesta los puntos de «cálculo correcto de la integral»: 0,5 puntos de 2,5.
Márcate con los criterios del tribunal
Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.
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Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?
2,5 puntos de 10. En la pregunta 2 eliges una de dos opciones: la 2.1 o la 2.2.
¿La solución es oficial?
No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.
¿Dónde está el enunciado original?
En el PDF oficial (ucm.es): el enunciado en la página 1 y los criterios de corrección en la página 4.
Fuente
Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 · Ordinaria (incidencias) · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UCM. Publicado en ucm.es, consultado el 19 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.