PAU Madrid 2025 · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · Extraordinaria
Pregunta 3.1: primitiva con condiciones, área y pendiente de la tangente
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- a)a = 3/2 y F(x) = x⁴/4 + 3x²/4: F = x⁴/4 + ax²/2 + C, con C = 0 y 1/4 + a/2 = 1.
- b)7 u²: f ≥ 0 en [0, 2] y F(2) − F(0) = 4 + 3.
- c)ningún a > 0: f′(1) = 3 + a = 1 da a = −2, que incumple a > 0.
Pregunta 3.1
Considere la función real de variable real f(x) = x(x² + a), donde a > 0 es un parámetro real.
- a)Calcule el valor de a para que la primitiva de f(x), F(x), cumpla que F(0) = 0 y F(1) = 1. (1 p)
- b)Para a = 3/2, obtenga el área del recinto delimitado por f(x), el eje horizontal y las rectas verticales x = 0 y x = 2. (0,5 p)
- c)Halle los valores de a que hacen que la pendiente de la recta tangente a f(x) en el punto x = 1 sea 1. (1 p)
Con el examen se entrega: Áreas bajo la distribución de probabilidad normal estándar.
Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 · Extraordinaria · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UCM. Solución verificada con sus criterios.
Examen oficial en PDF (ucm.es)Corregir con foto abre muy pronto
Dónde están los puntos
Así reparte el tribunal 2,5 puntos.
- 01a) Cálculo correcto de la integral0,5
- 02a) Obtención del valor del parámetro a0,25
- 03a) Expresión correcta de la primitiva pedida0,25
- 04b) Justificación de que no hay puntos de corte con el eje horizontal entre x = 0 y x = 20,25
- 05b) Cálculo correcto del área pedida0,25
- 06c) Expresión de la pendiente de la recta tangente en x = 10,25
- 07c) Cálculo correcto de la derivada0,5
- 08c) Cálculo correcto del valor del parámetro a0,25
Criterio general: La calificación debe hacerse en múltiplos de 0,25 puntos.
Inténtalo primero
Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.
Pista 1 · ¿Cómo se integra un producto así?
Antes de integrar, multiplica para quitar el paréntesis; después usa las dos condiciones sobre F, una para la constante y otra para el parámetro.
Pista 2 · ¿Qué condición hay sobre a?
En c), recuerda qué relación hay entre la pendiente de la tangente y la derivada, y no pierdas de vista la condición que el enunciado pone sobre a.
Solución paso a paso
Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.
01a · Desarrolla f e integra término a términoTribunal: cálculo correcto de la integral0,5
Quita el paréntesis antes de integrar: f(x) = x³ + ax. Con a como constante, cada término es una integral inmediata de potencia, así que las primitivas son F(x) = x⁴/4 + ax²/2 + C. Comprueba derivando: F′(x) = x³ + ax.
02a · Impón F(0) = 0 y F(1) = 1 y despeja aTribunal: obtención del valor del parámetro a0,25
La primera condición fija la constante: F(0) = C = 0. La segunda fija el parámetro: F(1) = 1/4 + a/2 = 1, así que a/2 = 3/4 y a = 3/2, que cumple a > 0.
03a · Escribe la primitiva pedidaTribunal: expresión correcta de la primitiva pedida0,25
Sustituye C = 0 y a = 3/2: F(x) = x⁴/4 + 3x²/4. Comprueba las dos condiciones: F(0) = 0 y F(1) = 1/4 + 3/4 = 1.
04b · Justifica que f no corta el eje entre x = 0 y x = 2Tribunal: justificación de que no hay puntos de corte con el eje horizontal entre x = 0 y x = 20,25
Con a = 3/2, f(x) = x(x² + 3/2). El factor x² + 3/2 es siempre positivo, así que f solo se anula en x = 0. Entre 0 y 2 no hay más cortes y f(x) > 0 para 0 < x ≤ 2: el recinto queda por encima del eje y el área es directamente la integral.
05b · Calcula el área con la regla de BarrowTribunal: cálculo correcto del área pedida0,25
La primitiva de a) sirve tal cual, porque es la de a = 3/2. El área es F(2) − F(0) = 16/4 + 3·4/4 − 0 = 4 + 3 = 7 u².
06c · Escribe la pendiente de la tangente como f′(1)Tribunal: expresión de la pendiente de la recta tangente en x = 10,25
La pendiente de la recta tangente a f en x = 1 es la derivada en ese punto, f′(1). La condición del enunciado es, por tanto, f′(1) = 1.
07c · Deriva fTribunal: cálculo correcto de la derivada0,5
Con f desarrollada, f(x) = x³ + ax, la derivada es f′(x) = 3x² + a. Si prefieres derivar el producto x·(x² + a), sale (x² + a) + x·2x, que es lo mismo. En x = 1 queda f′(1) = 3 + a.
08c · Resuelve f′(1) = 1 y contrasta con a > 0Tribunal: cálculo correcto del valor del parámetro a0,25
De 3 + a = 1 sale a = −2. Pero el enunciado exige a > 0, y con a > 0 la pendiente es f′(1) = 3 + a > 3: nunca vale 1. Responde las dos cosas: la ecuación da a = −2, y no hay ningún a > 0 que cumpla la condición.
Error típico
Integrar el producto factor por factor
Lo que se suele escribir: F(x) = (x²/2)(x³/3 + ax). Lo correcto: F(x) = x⁴/4 + ax²/2 + C
Es habitual integrar x(x² + a) factor por factor, como si la integral de un producto fuera el producto de las integrales. No lo es: si derivas (x²/2)(x³/3 + ax) no vuelves a f. Desarrolla primero, f(x) = x³ + ax, e integra término a término. Con la primitiva mal, F(1) = 1 da otro valor de a y el error se arrastra a la primitiva pedida y al área de b).
Cuesta los puntos de «cálculo correcto de la integral»: 0,5 puntos de 2,5.
Márcate con los criterios del tribunal
Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.
¿Hay un error en este ejercicio?Avísanos
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Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?
2,5 puntos de 10. En la pregunta 3 eliges una de dos opciones: la 3.1 o la 3.2.
¿La solución es oficial?
No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.
¿Dónde está el enunciado original?
En el PDF oficial (ucm.es): el enunciado en la página 2 y los criterios de corrección en la página 5.
Fuente
Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 · Extraordinaria · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UCM. Publicado en ucm.es, consultado el 19 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.