PAU Madrid 2025 · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · Extraordinaria
Pregunta 4.1: sucesos independientes: complementario, intersección y condicionada
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- a)P(Aᶜ ∪ Bᶜ) = 0,88: por De Morgan es 1 − P(A ∩ B) = 1 − 0,4 · 0,3.
- b)P(A ∩ Bᶜ) = 0,28: A y Bᶜ son independientes, 0,4 · 0,7.
- c)P(C | A ∩ B) = 5/6 ≈ 0,8333: P(A ∩ B ∩ C) = 0,2 · 0,5 = 0,1, entre P(A ∩ B) = 0,12.
Pregunta 4.1
Sean A, B y C tres sucesos. Se sabe que A y B son independientes. Además, se conoce la siguiente información: P(A) = 0,4, P(Bᶜ) = 0,7, P(C) = 0,5 y P(A ∩ B | C) = 0,2, donde Bᶜ denota el suceso complementario de B (representado con una barra superior en el PDF).
- a)Calcule la probabilidad de que no ocurra A o no ocurra B. (0,75 p)
- b)Determine la probabilidad de que A y Bᶜ ocurran simultáneamente. (0,75 p)
- c)Obtenga P(C | A ∩ B). (1 p)
Con el examen se entrega: Áreas bajo la distribución de probabilidad normal estándar.
Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 · Extraordinaria · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UCM. Solución verificada con sus criterios.
Examen oficial en PDF (ucm.es)Corregir con foto abre muy pronto
Dónde están los puntos
Así reparte el tribunal 2,5 puntos.
- 01a) Planteamiento correcto de la probabilidad0,5
- 02a) Cálculo correcto de la probabilidad0,25
- 03b) Planteamiento correcto de la probabilidad0,5
- 04b) Cálculo correcto de la probabilidad0,25
- 05c) Planteamiento correcto de la probabilidad0,5
- 06c) Cálculo correcto de la probabilidad0,5
Criterio general: La calificación debe hacerse en múltiplos de 0,25 puntos.
Inténtalo primero
Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.
Pista 1 · ¿Cómo se escribe «no A o no B»?
Escribe cada frase del enunciado con uniones, intersecciones y complementarios antes de sustituir, y recuerda qué te permite hacer la independencia de A y B.
Pista 2 · ¿De dónde sale la intersección de los tres?
En c) te dan la condicionada al revés: úsala para obtener la probabilidad de que ocurran los tres sucesos a la vez.
Solución paso a paso
Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.
01a · Traduce «no A o no B» con De MorganTribunal: planteamiento correcto de la probabilidad0,5
«No ocurra A o no ocurra B» es Aᶜ ∪ Bᶜ, y por las leyes de De Morgan Aᶜ ∪ Bᶜ = (A ∩ B)ᶜ. Así que P(Aᶜ ∪ Bᶜ) = 1 − P(A ∩ B). Como A y B son independientes, P(A ∩ B) = P(A) · P(B), con P(B) = 1 − P(Bᶜ) = 0,3.
02a · Calcula P(A ∩ B) y resta a 1Tribunal: cálculo correcto de la probabilidad0,25
P(A ∩ B) = 0,4 · 0,3 = 0,12, luego P(Aᶜ ∪ Bᶜ) = 1 − 0,12 = 0,88. Comprobación por la fórmula de la unión: P(Aᶜ) + P(Bᶜ) − P(Aᶜ ∩ Bᶜ) = 0,6 + 0,7 − 0,6 · 0,7 = 0,88.
03b · Escribe A ∩ Bᶜ como «A pero no B»Tribunal: planteamiento correcto de la probabilidad0,5
Que ocurran A y Bᶜ a la vez es A ∩ Bᶜ: ocurre A pero no B. Como A se parte en A ∩ B y A ∩ Bᶜ, que son disjuntos, P(A ∩ Bᶜ) = P(A) − P(A ∩ B). También vale usar que, si A y B son independientes, A y Bᶜ también lo son, y entonces P(A ∩ Bᶜ) = P(A) · P(Bᶜ).
04b · Calcula P(A ∩ Bᶜ)Tribunal: cálculo correcto de la probabilidad0,25
P(A ∩ Bᶜ) = 0,4 − 0,12 = 0,28. Por la otra vía sale lo mismo: 0,4 · 0,7 = 0,28, y las dos cuentas coinciden.
05c · Escribe la condicionada y saca P(A ∩ B ∩ C) del datoTribunal: planteamiento correcto de la probabilidad0,5
Por definición, P(C | A ∩ B) = P(A ∩ B ∩ C) / P(A ∩ B). El numerador no es dato, pero sale de la condicionada que te dan al revés: P(A ∩ B | C) = P(A ∩ B ∩ C) / P(C), así que P(A ∩ B ∩ C) = P(A ∩ B | C) · P(C). El denominador ya lo tienes del apartado a).
06c · Sustituye y simplifica la fracciónTribunal: cálculo correcto de la probabilidad0,5
P(A ∩ B ∩ C) = 0,2 · 0,5 = 0,1 y P(A ∩ B) = 0,12, así que P(C | A ∩ B) = 0,1 / 0,12 = 5/6 ≈ 0,8333. Está entre 0 y 1, como debe: el numerador, 0,1, no supera a P(A ∩ B) = 0,12.
Error típico
Confundir la unión de complementarios con su intersección
Lo que se suele escribir: P(Aᶜ ∪ Bᶜ) = 0,6 · 0,7. Lo correcto: P(Aᶜ ∪ Bᶜ) = 1 − 0,4 · 0,3
Es frecuente leer «no ocurra A o no ocurra B» como si fuera «no ocurre ninguno» y multiplicar P(Aᶜ) · P(Bᶜ) = 0,42. Eso es la intersección Aᶜ ∩ Bᶜ, no la unión: la «o» del enunciado es unión. La forma corta de calcularla es De Morgan, Aᶜ ∪ Bᶜ = (A ∩ B)ᶜ, y basta restar a 1 la probabilidad de que ocurran los dos. Escribe primero el suceso con símbolos y solo después sustituye.
Cuesta los puntos de «planteamiento correcto de la probabilidad»: 0,5 puntos de 2,5.
Márcate con los criterios del tribunal
Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.
¿Hay un error en este ejercicio?Avísanos
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Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?
2,5 puntos de 10. En la pregunta 4 eliges una de dos opciones: la 4.1 o la 4.2.
¿La solución es oficial?
No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.
¿Dónde está el enunciado original?
En el PDF oficial (ucm.es): el enunciado en la página 2 y los criterios de corrección en la página 6.
Fuente
Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 · Extraordinaria · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UCM. Publicado en ucm.es, consultado el 19 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.