PAU Madrid 2025 · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · Extraordinaria
Pregunta 4.2: insuficiencia renal en gatos: probabilidad total y teorema de Bayes
En breveOcultar para practicarMostrar el resultado
- a)P(negativo) = 0,86: por probabilidad total, 0,05 · 0,1 + 0,95 · 0,9.
- b)P(IR | positivo) = 9/28 ≈ 0,3214: por Bayes, la rama 0,05 · 0,9 = 0,045 entre P(positivo) = 1 − 0,86 = 0,14.
Pregunta 4.2
En una clínica veterinaria se utiliza una prueba médica para detectar la insuficiencia renal en gatos adultos. Se sabe lo siguiente: el porcentaje de gatos adultos con insuficiencia renal es del 5 %; si el gato adulto tiene insuficiencia renal, la prueba da positivo el 90 % de las veces; y si el gato adulto no tiene insuficiencia renal, la prueba da positivo el 10 % de las veces.
- a)Calcule la probabilidad de que un gato adulto seleccionado al azar dé un resultado negativo en la prueba. (1,25 p)
- b)La prueba en un gato adulto ha resultado positiva. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga insuficiencia renal? (1,25 p)
Con el examen se entrega: Áreas bajo la distribución de probabilidad normal estándar.
Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 · Extraordinaria · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UCM. Solución verificada con sus criterios.
Examen oficial en PDF (ucm.es)Corregir con foto abre muy pronto
Dónde están los puntos
Así reparte el tribunal 2,5 puntos. Más de la mitad está en dos criterios: planteamiento correcto de la probabilidad y planteamiento correcto de la probabilidad.
- 01a) Planteamiento correcto de la probabilidad0,75
- 02a) Cálculo correcto de la probabilidad0,5
- 03b) Planteamiento correcto de la probabilidad0,75
- 04b) Cálculo correcto de la probabilidad0,5
- Penalización: No definir los sucesos (−0,25).
Criterio general: La calificación debe hacerse en múltiplos de 0,25 puntos.
Inténtalo primero
Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.
Pista 1 · ¿Cómo organizas los datos?
Organiza los datos en un diagrama de árbol: primero, si el gato tiene o no insuficiencia renal; después, el resultado de la prueba en cada caso.
Pista 2 · ¿Qué sabes y qué preguntas en b)?
En b) la condición es el resultado de la prueba, no la enfermedad: piensa qué parte de todos los positivos corresponde a gatos enfermos.
Solución paso a paso
Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.
01a · Define los sucesos y plantea la probabilidad totalTribunal: planteamiento correcto de la probabilidad0,75
Define primero los sucesos, porque no hacerlo resta 0,25 puntos a la pregunta: IR = «el gato tiene insuficiencia renal» y positivo = «la prueba da positivo», con negativo su complementario. Los datos son P(IR) = 0,05, P(positivo | IR) = 0,9 y P(positivo | IRᶜ) = 0,1, así que P(negativo | IR) = 0,1 y P(negativo | IRᶜ) = 0,9. Un negativo puede venir de un gato enfermo o de uno sano: aplica el teorema de la probabilidad total sobre esas dos ramas.
02a · Sustituye y suma las dos ramasTribunal: cálculo correcto de la probabilidad0,5
P(negativo) = 0,05 · 0,1 + 0,95 · 0,9 = 0,005 + 0,855 = 0,86. Comprobación: P(positivo) = 0,05 · 0,9 + 0,95 · 0,1 = 0,045 + 0,095 = 0,14, y 0,86 + 0,14 = 1.
03b · Plantea Bayes con la condición bien puestaTribunal: planteamiento correcto de la probabilidad0,75
Te piden P(IR | positivo): sabes que la prueba ha dado positivo y preguntas por la enfermedad. Es la condicionada al revés que la del enunciado, así que usa el teorema de Bayes: en el numerador va la rama «enfermo y positivo», P(IR) · P(positivo | IR), y en el denominador P(positivo) = 1 − P(negativo), que sale del apartado a).
04b · Divide la rama de enfermos entre P(positivo)Tribunal: cálculo correcto de la probabilidad0,5
P(IR | positivo) = 0,045 / 0,14 = 9/28 ≈ 0,3214. Aunque la prueba detecta el 90 % de los enfermos, solo unos 32 de cada 100 positivos tienen insuficiencia renal: hay tan pocos gatos enfermos que los positivos de gatos sanos (0,095) superan a los de enfermos (0,045).
Error típico
Confundir P(IR | positivo) con P(positivo | IR)
Lo que se suele escribir: P(IR | positivo) = 0,9. Lo correcto: P(IR | positivo) = 0,045/0,14
El error que más cuesta es responder 0,9 en b). Ese 0,9 es P(positivo | IR), dar positivo sabiendo que está enfermo, y te piden lo contrario: estar enfermo sabiendo que ha dado positivo. Escribe la condicionada con símbolos, mira qué va detrás de la barra y aplica Bayes cuando el enunciado te da la condición al revés. Y define los sucesos: no hacerlo cuesta 0,25 puntos.
Cuesta los puntos de «planteamiento correcto de la probabilidad»: 0,75 puntos de 2,5.
Márcate con los criterios del tribunal
Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.
¿Hay un error en este ejercicio?Avísanos
Sigue practicando
Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?
2,5 puntos de 10. En la pregunta 4 eliges una de dos opciones: la 4.2 o la 4.1.
¿La solución es oficial?
No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.
¿Dónde está el enunciado original?
En el PDF oficial (ucm.es): el enunciado en la página 2 y los criterios de corrección en la página 6.
Fuente
Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 · Extraordinaria · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UCM. Publicado en ucm.es, consultado el 19 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.