PAU Madrid 2025 · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · Extraordinaria
Pregunta 2.1: discusión y resolución de un sistema con parámetro
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- a)Es compatible determinado si a ≠ 2, compatible indeterminado si a = 2 y nunca es incompatible: |A| = 2 − a.
- b)(x, y, z) = ((5 − 2λ)/3, (1 − λ)/3, λ), λ ∈ ℝ: con a = 2 sobra la tercera ecuación y se toma z = λ en las otras dos.
Pregunta 2.1
Se considera el sistema de ecuaciones dependiente del parámetro real a, formado por x + y + z = 2, 2x − y + z = 3 y (a + 1)x + az = 5.
- a)Discuta el sistema en función de los valores del parámetro real a. (1,25 p)
- b)Resuelva el sistema para a = 2. (1,25 p)
Con el examen se entrega: Áreas bajo la distribución de probabilidad normal estándar.
Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 · Extraordinaria · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UCM. Solución verificada con sus criterios.
Examen oficial en PDF (ucm.es)Corregir con foto abre muy pronto
Dónde están los puntos
Así reparte el tribunal 2,5 puntos. Más de la mitad está en dos criterios: obtención de la solución correcta y discusión correcta del sistema.
- 01a) Cálculo correcto del valor de a que separa los casos de la discusión0,5
- 02a) Discusión correcta del sistema0,75
- 03b) Obtención de la solución correcta1,25
Criterio general: La calificación debe hacerse en múltiplos de 0,25 puntos.
Inténtalo primero
Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.
Pista 1 · ¿Qué valores de a hay que estudiar aparte?
Empieza por el determinante de la matriz de coeficientes: los valores de a que lo anulan son los únicos que hay que estudiar aparte.
Pista 2 · ¿Qué pasa si el determinante se anula?
En ese caso, compara el rango de la matriz de coeficientes con el de la ampliada antes de decidir; en b), deja una incógnita como parámetro.
Solución paso a paso
Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.
01a · Calcula el determinante y el valor que lo anulaTribunal: cálculo correcto del valor de a que separa los casos de la discusión0,5
La matriz de coeficientes es A, con filas (1, 1, 1), (2, −1, 1) y (a + 1, 0, a). Desarrollando por la primera fila, |A| = 1·(−a) − 1·(2a − (a + 1)) + 1·(a + 1) = −a − (a − 1) + a + 1 = 2 − a. Se anula solo para a = 2: es el único valor que hay que estudiar aparte.
02a · Discute los dos casos con los rangosTribunal: discusión correcta del sistema0,75
Si a ≠ 2, |A| ≠ 0 y rg A = rg A* = 3 = número de incógnitas: por el teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es compatible determinado (una única solución). Si a = 2, la tercera ecuación es 3x + 2z = 5, que es justo la suma de las dos primeras; por tanto rg A = rg A* = 2 < 3 y el sistema es compatible indeterminado. No hay ningún valor de a para el que sea incompatible.
03b · Resuelve con a = 2 dejando z como parámetroTribunal: obtención de la solución correcta1,25
Con a = 2 basta con las dos primeras ecuaciones. Haces z = λ y queda x + y = 2 − λ y 2x − y = 3 − λ; sumándolas, 3x = 5 − 2λ, así que x = (5 − 2λ)/3, y entonces y = 2 − λ − x = (1 − λ)/3. Comprobación en la tercera: 3·(5 − 2λ)/3 + 2λ = 5. Si eliges otra incógnita como parámetro, la solución se escribe distinta pero es la misma recta, por ejemplo (1 + 2μ, μ, 1 − 3μ).
Error típico
Dar por incompatible el sistema porque |A| = 0
Lo que se suele escribir: a = 2: |A| = 0, sistema incompatible. Lo correcto: a = 2: rg A = rg A* = 2, indeterminado
Concluir que el sistema es incompatible en a = 2 solo porque |A| = 0. Un determinante nulo dice que rg A < 3, pero no si el sistema tiene solución: hay que comparar con el rango de la ampliada. Aquí la tercera ecuación es la suma de las otras dos, así que rg A = rg A* = 2 y el sistema tiene infinitas soluciones, como confirma b).
Cuesta los puntos de «discusión correcta del sistema»: 0,75 puntos de 2,5.
Márcate con los criterios del tribunal
Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.
¿Hay un error en este ejercicio?Avísanos
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Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?
2,5 puntos de 10. En la pregunta 2 eliges una de dos opciones: la 2.1 o la 2.2.
¿La solución es oficial?
No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.
¿Dónde está el enunciado original?
En el PDF oficial (ucm.es): el enunciado en la página 1 y los criterios de corrección en la página 5.
Fuente
Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 · Extraordinaria · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UCM. Publicado en ucm.es, consultado el 19 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.