PAU Madrid 2025 · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · Extraordinaria · incidencias
Pregunta 2.2: discusión de un sistema con parámetro y resolución para a = −1
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- a)compatible determinado si a ≠ 0, a ≠ 1 y a ≠ −1; incompatible si a = 0 o a = 1; compatible indeterminado si a = −1.
- b)(x, y, z) = (λ − 2, λ − 2, λ), λ ∈ ℝ: con z = λ, la 2.ª da y y la 1.ª da x = y.
Pregunta 2.2
Se considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real a, formado por las ecuaciones ax + y = a + 1, ay + z = −2a y −ax + az = −2.
- a)Discuta el sistema en función de los valores del parámetro a. (1,5 p)
- b)Resuelva el sistema de ecuaciones para a = −1. (1 p)
Con el examen se entrega: Áreas bajo la distribución de probabilidad normal estándar.
Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 · Extraordinaria (incidencias) · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UC3M. Solución verificada con sus criterios.
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Dónde están los puntos
Así reparte el tribunal 2,5 puntos. Más de la mitad está en dos criterios: discusión correcta del sistema y obtención de la solución del sistema.
- 01a) Cálculo correcto de los valores críticos0,5
- 02a) Discusión correcta del sistema1
- 03b) Obtención de la solución del sistema1
Criterio general: La calificación debe hacerse en múltiplos de 0,25 puntos.
Inténtalo primero
Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.
Pista 1 · ¿Qué valores de a hay que mirar aparte?
Escribe la matriz de coeficientes y busca los valores de a que anulan su determinante: son los únicos que hay que estudiar por separado.
Pista 2 · ¿Cómo se clasifica cada caso especial?
En cada valor especial, sustituye a en el sistema y compara el rango de la matriz de coeficientes con el de la ampliada antes de decidir qué tipo de sistema es.
Solución paso a paso
Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.
01a · Calcula el determinante y sus raícesTribunal: cálculo correcto de los valores críticos0,5
La matriz de coeficientes tiene filas (a, 1, 0), (0, a, 1) y (−a, 0, a). Desarrollando por la primera columna, |A| = a · a² + (−a) · 1 = a³ − a = a(a − 1)(a + 1). Se anula en a = 0, a = 1 y a = −1: esos son los valores críticos que hay que estudiar aparte.
02a · Compara los rangos en cada casoTribunal: discusión correcta del sistema1
Si a ≠ 0, 1, −1, |A| ≠ 0 y rg A = rg A* = 3, el número de incógnitas: por el teorema de Rouché-Fröbenius el sistema es compatible determinado. Con a = 0 las ecuaciones quedan y = 1, z = 0 y 0 = −2, imposible: rg A = 2 y rg A* = 3, incompatible. Con a = 1, sumar la 1.ª y la 3.ª da y + z = 0, que contradice la 2.ª (y + z = −2): también incompatible. Con a = −1, la 3.ª ecuación es la suma de las dos primeras cambiada de signo, así que rg A = rg A* = 2 < 3: compatible indeterminado.
03b · Toma z = λ y despeja las otras incógnitasTribunal: obtención de la solución del sistema1
Con a = −1 el sistema es −x + y = 0, −y + z = 2 y x − z = −2; la 3.ª sobra porque depende de las otras dos. Tomas z = λ como parámetro: de la 2.ª, y = λ − 2, y de la 1.ª, x = y = λ − 2. Compruébalo en la 3.ª: (λ − 2) − λ = −2. La solución es (x, y, z) = (λ − 2, λ − 2, λ), con λ ∈ ℝ.
Error típico
Llamar indeterminado a todo caso con |A| = 0
Lo que se suele escribir: a = 1: compatible indeterminado. Lo correcto: a = 1: incompatible
Dar por compatible indeterminado cualquier valor que anula el determinante. Que |A| = 0 solo dice que el sistema no es compatible determinado; para saber si tiene infinitas soluciones o ninguna hay que comparar rg A con rg A*. Aquí a = 0 y a = 1 llevan a una contradicción (0 = −2, o y + z valiendo 0 y −2 a la vez) y son incompatibles; solo a = −1 es indeterminado. Estudia cada valor crítico por separado.
Cuesta los puntos de «discusión correcta del sistema»: 1 punto de 2,5.
Márcate con los criterios del tribunal
Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.
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Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?
2,5 puntos de 10. En la pregunta 2 eliges una de dos opciones: la 2.2 o la 2.1.
¿La solución es oficial?
No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.
¿Dónde está el enunciado original?
En el PDF oficial (drive.google.com): el enunciado en la página 1 y los criterios de corrección en la página 6.
Fuente
Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 · Extraordinaria (incidencias) · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UC3M. Publicado en drive.google.com, consultado el 19 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.