PAU Madrid 2025 · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · Extraordinaria · incidencias
Pregunta 2.1: potencias de una matriz y ecuación matricial con la traspuesta
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- a)A²⁰ = I y A²¹ = A: como A² = I, A²⁰ = (A²)¹⁰ = I y A²¹ = A²⁰·A = A.
- b)X = BBᵗ = (3 −3; −3 3): A² = I implica A⁻¹ = A, y al multiplicar por A⁻¹ por la derecha queda X = BBᵗ(A⁻¹)² = BBᵗ.
Pregunta 2.1
Se consideran las matrices A y B. A se muestra en la tabla siguiente. La matriz B tiene, en este orden, las filas (1, −1, 1) y (−1, 1, −1).
- a)Calcule las matrices A²⁰ y A²¹. (1,25 p)
- b)Calcule la matriz X que verifique la igualdad XA = BBᵗA⁻¹, donde Bᵗ indica la matriz traspuesta de B. (1,25 p)
Con el examen se entrega: Áreas bajo la distribución de probabilidad normal estándar.
Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 · Extraordinaria (incidencias) · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UC3M. Solución verificada con sus criterios.
Examen oficial en PDF (drive.google.com)Corregir con foto abre muy pronto
Dónde están los puntos
Así reparte el tribunal 2,5 puntos.
- 01a) Cálculo correcto de A²0,5
- 02a) Cálculo correcto de A²⁰0,5
- 03a) Cálculo correcto de A²¹0,25
- 04b) Identificación de A como A⁻¹0,25
- 05b) Cálculo correcto de la expresión de X0,25
- 06b) Obtención correcta de la matriz X0,75
Criterio general: La calificación debe hacerse en múltiplos de 0,25 puntos.
Inténtalo primero
Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.
Pista 1 · ¿Hay alguna potencia de A sencilla?
Antes de pensar en la potencia 20, calcula las primeras potencias de A y busca un patrón que se repita.
Pista 2 · ¿Por qué lado se multiplica para despejar X?
El producto de matrices no es conmutativo: para quitar la A que acompaña a X, multiplica por A⁻¹ por el mismo lado en los dos miembros. Fíjate en qué relación tiene A⁻¹ con lo que has obtenido en a).
Solución paso a paso
Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.
01a · Calcula A²Tribunal: cálculo correcto de A²0,5
Multiplica A por sí misma, fila por columna. Primera fila: 1·1 + (−1)·0 = 1 y 1·(−1) + (−1)·(−1) = 0. Segunda fila: 0·1 + (−1)·0 = 0 y 0·(−1) + (−1)·(−1) = 1. Sale A² = I, la identidad: este es el dato que desbloquea todo el ejercicio.
02a · Deduce A²⁰ a partir de A² = ITribunal: cálculo correcto de A²⁰0,5
No hace falta multiplicar veinte veces. Las potencias pares son potencias de A²: A²⁰ = (A²)¹⁰ = I¹⁰ = I. Las potencias se alternan: A, I, A, I…, y toda potencia par vale I.
03a · Calcula A²¹Tribunal: cálculo correcto de A²¹0,25
A²¹ es una potencia impar: A²¹ = A²⁰·A = I·A = A. Así que A²¹ = A, la matriz (1 −1; 0 −1) del enunciado.
04b · Reconoce que A es su propia inversaTribunal: identificación de A como A⁻¹0,25
A·A = I significa justo que A es la inversa de A: A⁻¹ = A. Lo has obtenido en a), así que no hace falta calcular la inversa con adjuntos. Si quieres comprobarlo: |A| = −1 y la fórmula de la inversa devuelve la misma A.
05b · Despeja X multiplicando por la derechaTribunal: cálculo correcto de la expresión de X0,25
En XA = BBᵗA⁻¹ la A está a la derecha de X, así que multiplica ambos miembros por A⁻¹ por la derecha: X = BBᵗA⁻¹A⁻¹ = BBᵗ(A⁻¹)². Como A⁻¹ = A, (A⁻¹)² = A² = I, y queda X = BBᵗ.
06b · Calcula el producto BBᵗTribunal: obtención correcta de la matriz X0,75
B es 2×3 y Bᵗ es 3×2, así que BBᵗ es 2×2, del mismo tamaño que A, como tiene que ser X. Cada elemento es el producto escalar de dos filas de B: (1, −1, 1)·(1, −1, 1) = 3, (1, −1, 1)·(−1, 1, −1) = −3 y (−1, 1, −1)·(−1, 1, −1) = 3. Queda X = (3 −3; −3 3). Comprobación: XA = (3 0; −3 0) y BBᵗA⁻¹ = BBᵗA da lo mismo.
Error típico
Multiplicar por A⁻¹ por el lado equivocado
Lo que se suele escribir: X = A⁻¹·BBᵗ·A⁻¹. Lo correcto: X = BBᵗ·A⁻¹·A⁻¹
Para despejar X se suele multiplicar por A⁻¹ por la izquierda, o por la izquierda en un miembro y por la derecha en el otro. Como el producto de matrices no es conmutativo, A⁻¹XA no es X: la A está a la derecha de X, así que hay que multiplicar los dos miembros por A⁻¹ por la derecha. Con el despeje mal hecho se obtiene otra matriz, (6 0; 3 0), y se pierden también los puntos del cálculo final.
Cuesta los puntos de «cálculo correcto de la expresión de X»: 0,25 puntos de 2,5.
Márcate con los criterios del tribunal
Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.
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Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?
2,5 puntos de 10. En la pregunta 2 eliges una de dos opciones: la 2.1 o la 2.2.
¿La solución es oficial?
No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.
¿Dónde está el enunciado original?
En el PDF oficial (drive.google.com): el enunciado en la página 1 y los criterios de corrección en la página 6.
Fuente
Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 · Extraordinaria (incidencias) · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UC3M. Publicado en drive.google.com, consultado el 19 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.