PAU Madrid 2025 · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · Extraordinaria · incidencias
Pregunta 3.1: donaciones a una ONG: intervalo de confianza y tamaño de la muestra
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- a)(351,775; 368,225) €: centrado en x̄ = 360, con z_(α/2) = 1,645 y E = 8,225 € (1,645 · 40/√64).
- b)n = 62 familias: con z_(α/2) = 1,96, 1,96 · 40/√n ≤ 10 exige n ≥ 61,4656 y se redondea hacia arriba.
Pregunta 3.1
Una organización no gubernamental (ONG) quiere saber qué cantidad de dinero dedican las familias a actividades de interés social y en qué tipo de actividades están interesadas. Para ello se selecciona un municipio al azar. La cantidad anual donada por familia a actividades de interés social se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media μ euros y desviación típica de 40 euros.
- a)Para una muestra aleatoria de 64 familias resultó que la donación media fue de 360 euros. Obtenga un intervalo de confianza del 90 % para estimar la cantidad media donada por familia a actividades de interés social. (1,25 p)
- b)Determine el tamaño mínimo necesario de una muestra de familias del municipio para garantizar, con un nivel de confianza del 95 %, que el margen de error en la estimación de la cantidad media donada por familia no supere los 10 euros. (1,25 p)
Con el examen se entrega: Áreas bajo la distribución de probabilidad normal estándar.
Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 · Extraordinaria (incidencias) · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UC3M. Solución verificada con sus criterios.
Examen oficial en PDF (drive.google.com)Corregir con foto abre muy pronto
Dónde están los puntos
Así reparte el tribunal 2,5 puntos.
- 01a) Determinación del valor z_(α/2)0,25
- 02a) Aplicación de la fórmula del error y obtención del mismo0,75
- 03a) Determinación correcta del intervalo de confianza0,25
- 04b) Determinación del valor crítico z_(α/2)0,25
- 05b) Planteamiento con la aplicación de la fórmula del error0,5
- 06b) Cálculo correcto del tamaño mínimo de la muestra0,5
Criterio general: La calificación debe hacerse en múltiplos de 0,25 puntos.
Inténtalo primero
Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.
Pista 1 · ¿Qué área buscas en la tabla?
En la tabla de la normal no se busca el nivel de confianza, sino el área que queda a la izquierda del valor crítico: reparte α entre las dos colas.
Pista 2 · ¿Cómo se redondea el tamaño?
Para el tamaño de la muestra, plantea la desigualdad del error con n como incógnita y piensa en qué sentido hay que redondear lo que salga.
Solución paso a paso
Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.
01a · Busca z_(α/2) para el 90 %Tribunal: determinación del valor z_(α/2)0,25
Con un 90 % de confianza, α = 0,10 y α/2 = 0,05. Buscas en la tabla el valor que deja a su izquierda 1 − 0,05 = 0,95 de área: está entre 1,64 (0,9495) y 1,65 (0,9505), así que z_(α/2) = 1,645.
02a · Aplica la fórmula del errorTribunal: aplicación de la fórmula del error y obtención del mismo0,75
La donación sigue una normal con σ = 40 conocida, así que el error máximo es E = z_(α/2) · σ/√n. Con n = 64, √64 = 8 y σ/√n = 5, de modo que E = 1,645 · 5 = 8,225 €.
03a · Construye el intervalo alrededor de la mediaTribunal: determinación correcta del intervalo de confianza0,25
El intervalo se centra en la media muestral x̄ = 360 y se abre E a cada lado: (360 − 8,225; 360 + 8,225) = (351,775; 368,225) €. Con un 90 % de confianza, la donación media anual por familia del municipio está en ese intervalo.
04b · Busca z_(α/2) para el 95 %Tribunal: determinación del valor crítico z_(α/2)0,25
Ahora α = 0,05 y 1 − α/2 = 0,975. En la tabla, el valor que deja 0,975 a su izquierda es z_(α/2) = 1,96.
05b · Plantea la desigualdad del errorTribunal: planteamiento con la aplicación de la fórmula del error0,5
Se pide que el error no supere 10 euros, con la misma σ = 40 y n como incógnita: 1,96 · 40/√n ≤ 10. Despejando, √n ≥ 1,96 · 40/10 = 7,84.
06b · Eleva al cuadrado y redondea hacia arribaTribunal: cálculo correcto del tamaño mínimo de la muestra0,5
Al elevar al cuadrado, n ≥ 7,84² = 61,4656. El tamaño tiene que ser entero y cumplir la desigualdad, así que el mínimo es n = 62 familias: con 61 el error sería 78,4/√61 ≈ 10,04 euros, por encima de 10.
Error típico
Redondear n al entero más próximo
Lo que se suele escribir: n = 61. Lo correcto: n = 62
Redondear el tamaño al entero más próximo. De la desigualdad sale n ≥ 61,4656, y como los decimales son menos de 0,5 es tentador quedarse con 61; pero 61 no la cumple: con 61 familias el error sería de unos 10,04 euros. Como n tiene que ser entero y la condición es «no supere», se redondea siempre hacia arriba. Escribe la desigualdad completa y comprueba el entero que eliges.
Cuesta los puntos de «cálculo correcto del tamaño mínimo de la muestra»: 0,5 puntos de 2,5.
Márcate con los criterios del tribunal
Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.
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Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?
2,5 puntos de 10. En la pregunta 3 eliges una de dos opciones: la 3.1 o la 3.2.
¿La solución es oficial?
No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.
¿Dónde está el enunciado original?
En el PDF oficial (drive.google.com): el enunciado en la página 2 y los criterios de corrección en la página 6.
Fuente
Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 · Extraordinaria (incidencias) · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UC3M. Publicado en drive.google.com, consultado el 19 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.