PAU Madrid 2025 · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · Extraordinaria · incidencias

Pregunta 4.1: sucesos: probabilidad condicionada, complementarios e independencia

Tema · Probabilidad
Concepto · Probabilidad condicionada
Opcional · 4.1 o 4.2
Solución verificada

En breveOcultar para practicarMostrar el resultado

a)P(B | Aᶜ) = 0,6: P(B) − P(A ∩ B) = 0,6 − 0,3 entre P(Aᶜ) = 0,5.
b)P(Aᶜ ∩ Bᶜ) = 0,2: es 1 − P(A ∪ B).
c)sí, son independientes: P(A ∩ B) = 0,3 = P(A)·P(B), con P(A ∩ B) = 0,5 + 0,6 − 0,8.

Pregunta 4.1

PAU Madrid 2025 · Extraordinaria · incidenciasProbabilidad2,5 puntos

Sean A y B dos sucesos resultado de un experimento aleatorio tales que P(A) = 0,5, P(Bᶜ) = 0,4 y P(A ∪ B) = 0,8, siendo Bᶜ el suceso complementario de B.

a)Calcule P(B | Aᶜ), siendo Aᶜ el suceso complementario de A. (1 p)
b)Calcule P(Aᶜ ∩ Bᶜ). (0,75 p)
c)Justifique si los sucesos A y B son independientes o no. (0,75 p)

Con el examen se entrega: Áreas bajo la distribución de probabilidad normal estándar.

Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 · Extraordinaria (incidencias) · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UC3M. Solución verificada con sus criterios.

Examen oficial en PDF (drive.google.com)

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Dónde están los puntos

Así reparte el tribunal 2,5 puntos.

Los criterios, a escala2,5puntos

Criterios oficialesPuntos

01a) Planteamiento correcto de la probabilidad0,5
02a) Cálculo correcto de la probabilidad0,5
03b) Planteamiento correcto de la probabilidad0,5
04b) Cálculo correcto de la probabilidad0,25
05c) Justificación correcta de la independencia de los sucesos0,75

Criterio general: La calificación debe hacerse en múltiplos de 0,25 puntos.

Inténtalo primero

Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.

Pista 1 · ¿Qué datos te faltan primero?

Antes de nada, completa lo que falta: P(B) a partir de su complementario y P(A ∩ B) a partir de la unión.

Pista 2 · ¿Cómo ordenas las cuatro zonas?

Un diagrama de Venn con las cuatro zonas (solo A, solo B, los dos, ninguno) te da a la vez los apartados a) y b).

Solución paso a paso

Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.

01a · Plantea la condicionada con la intersecciónTribunal: planteamiento correcto de la probabilidad0,5
Saca primero lo que falta: P(B) = 1 − P(Bᶜ) = 0,6 y, por la fórmula de la unión, P(A ∩ B) = P(A) + P(B) − P(A ∪ B) = 0,3. Después escribe la definición de condicionada: P(B | Aᶜ) = P(Aᶜ ∩ B)/P(Aᶜ), con P(Aᶜ ∩ B) = P(B) − P(A ∩ B).
$P (B | A^{c}) = \frac{P (A^{c} \cap B)}{P (A^{c})} = \frac{P (B) - P (A \cap B)}{1 - P (A)}$
Tribunal
Planteamiento correcto de la probabilidad: 0,50 puntos.
0,5de 2,5
02a · Sustituye y divideTribunal: cálculo correcto de la probabilidad0,5
P(Aᶜ ∩ B) = 0,6 − 0,3 = 0,3 y P(Aᶜ) = 1 − 0,5 = 0,5, así que P(B | Aᶜ) = 0,3/0,5 = 0,6.
$P (B | A^{c}) = \frac{0,6 - 0,3}{0,5} = \frac{0,3}{0,5} = 0,6$
Tribunal
Cálculo correcto de la probabilidad: 0,50 puntos.
0,5de 2,5
03b · Usa la ley de De MorganTribunal: planteamiento correcto de la probabilidad0,5
«Ni A ni B» es el complementario de «A o B»: por De Morgan, Aᶜ ∩ Bᶜ = (A ∪ B)ᶜ. Por eso P(Aᶜ ∩ Bᶜ) = 1 − P(A ∪ B).
$P (A^{c} \cap B^{c}) = P ((A \cup B)^{c}) = 1 - P (A \cup B)$
Tribunal
Planteamiento correcto de la probabilidad: 0,50 puntos.
0,5de 2,5
04b · Calcula la probabilidadTribunal: cálculo correcto de la probabilidad0,25
P(Aᶜ ∩ Bᶜ) = 1 − 0,8 = 0,2. Comprobación: las cuatro zonas del diagrama, 0,3 (A y B), 0,2 (solo A), 0,3 (solo B) y 0,2 (ninguno), suman 1.
Tribunal
Cálculo correcto de la probabilidad: 0,25 puntos.
0,25de 2,5
05c · Compara P(A ∩ B) con P(A)·P(B)Tribunal: justificación correcta de la independencia de los sucesos0,75
A y B son independientes si y solo si P(A ∩ B) = P(A)·P(B). Aquí P(A)·P(B) = 0,5 · 0,6 = 0,3, que coincide con P(A ∩ B) = 0,3: son independientes. Lo confirma el apartado a): P(B | Aᶜ) = 0,6 = P(B), saber que no ocurre A no cambia la probabilidad de B.
$P (A) \cdot P (B) = 0,5 \cdot 0,6 = 0,3 = P (A \cap B)$
Tribunal
Justificación correcta de la independencia de los sucesos: 0,75 puntos.
0,75de 2,5

Error típico

Aplicar mal la ley de De Morgan

Lo que se suele escribir: ~~P(Aᶜ ∩ Bᶜ) = 1 − P(A ∩ B)~~. Lo correcto: P(Aᶜ ∩ Bᶜ) = 1 − P(A ∪ B)

En b) es habitual escribir P(Aᶜ ∩ Bᶜ) = 1 − P(A ∩ B), que da 0,7. Eso es la probabilidad de «no ocurren los dos a la vez», no la de «no ocurre ninguno». La ley de De Morgan cambia la intersección de complementarios por el complementario de la unión: Aᶜ ∩ Bᶜ = (A ∪ B)ᶜ. Tampoco uses P(Aᶜ)·P(Bᶜ) antes de haber probado la independencia en c).

Cuesta los puntos de «planteamiento correcto de la probabilidad»: 0,5 puntos de 2,5.

Márcate con los criterios del tribunal

Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.

¿Hay un error en este ejercicio?Avísanos

Sigue practicando

Preguntas frecuentes

¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?

2,5 puntos de 10. En la pregunta 4 eliges una de dos opciones: la 4.1 o la 4.2.

¿La solución es oficial?

No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.

¿Dónde está el enunciado original?

En el PDF oficial (drive.google.com): el enunciado en la página 2 y los criterios de corrección en la página 7.

Fuente

Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 · Extraordinaria (incidencias) · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UC3M. Publicado en drive.google.com, consultado el 19 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.