Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · Madrid · Bloque de probabilidad
Probabilidad en la PAU de Madrid: ejercicios resueltos
35 ejercicios resueltos de probabilidad de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II: ordinaria, ordinaria · incidencias, extraordinaria, extraordinaria · incidencias y modelo de 2025, ordinaria, ordinaria · incidencias, extraordinaria, extraordinaria · incidencias y modelo de 2026 y modelo de 2027. Aquí tienes el método, los ejercicios y los errores que más puntos cuestan.
35ejercicios resueltos de 2025, 2026 y 2027
2024: aún sin clasificar por temas. Tienes los PDF oficiales en la página de la asignatura.
El método, criterio a criterio
Así reparte el tribunal los 2,5 puntos de la 1 de la ordinaria de 2026, paso a paso:
Dónde están los puntos2,5puntos
- a · Busca el valor crítico para el 95 %0,3/2,5Cálculo correcto del valor crítico z_(α/2)
- a · Justifica que puedes usar la normal0,4/2,5Justificación correcta del uso de la aproximación normal
- a · Plantea la fórmula del intervalo0,4/2,5Planteamiento correcto de la fórmula del intervalo de confianza
- a · Calcula el error y los extremos0,4/2,5Cálculo correcto del intervalo de confianza
- b · Busca el valor crítico para el 97 %0,3/2,5Cálculo correcto del valor crítico z_(α/2)
- b · Plantea la fórmula del error0,2/2,5Planteamiento correcto de la fórmula del error
- b · Despeja el tamaño mínimo de la muestra0,5/2,5Cálculo correcto del tamaño mínimo de la muestra
Los criterios son los oficiales del examen. Los pasos y las explicaciones son nuestros.
Ejercicios de probabilidad
- Madrid 2026 · Ordinaria · 12,5 puntosEl barómetro de octubre de 2025 del Centro de Investigaciones Sociológicas (CIS) recoge las entrevistas realizadas a una muestra de 4029 personas. La Pregunta 10R plantea al entrevistado: «¿Cuál es, a su juicio, el principal problema que existe actualmente en España? ¿Y el segundo? ¿Y el tercero?». De los 333 entrevistados entre 18 y 24 años, un 35,5 % mencionan como alguno de los tres problemas «la vivienda», un 26,7 % «la inmigración» y un 25,1 % «los problemas relacionados con la calidad del empleo». En los barómetros de septiembre y julio de 2025, «la vivienda» fue mencionada como respuesta a la Pregunta 10R por el 31,9 % y el 29,3 % de los jóvenes en la misma franja de edad, respectivamente.
- Madrid 2026 · Ordinaria · 4.12,5 puntosSean A, B y C tres sucesos de los que se conoce la siguiente información: P(A) = 0,4, P(B) = 0,6, P(C) = 0,5, P(A | C) = 0,6, P(B | C) = 0,8, P(A ∩ B | C) = P(A | C)·P(B | C) y P(A ∩ B | Cᶜ) = 0,08. Nota: Sᶜ denota el suceso complementario (contrario) del suceso S.
- Madrid 2026 · Ordinaria · 4.22,5 puntosEn un laboratorio farmacéutico se realiza un test de control de calidad para detectar productos defectuosos antes de su distribución. Se conoce la siguiente información: el 3 % de los productos presenta un defecto grave, el 7 % un defecto leve y el resto no presenta defectos; si el defecto es grave, el test da positivo el 98 % de las veces; si el defecto es leve, el test da positivo el 80 % de las veces; si el producto no tiene defectos, el test da positivo el 5 % de las veces.
- Madrid 2026 · Ordinaria · incidencias · 2.12,5 puntosTenemos una baraja de dorso azul que contiene 60 cartas de diamantes y 40 cartas de tréboles y otra baraja de dorso verde que contiene 30 cartas de diamantes y 70 cartas de tréboles. Además, tenemos una bolsa con 2 bolas azules y 4 bolas verdes. Se saca una bola de la bolsa. Si la bola es azul, se saca una carta al azar de la baraja azul. Si la bola es verde, se saca una carta al azar de la baraja de dorso verde.
- Madrid 2026 · Ordinaria · incidencias · 2.22,5 puntosSean A y B dos sucesos de un experimento aleatorio, siendo P(A) = 2/3, P(B) = 1/3 y P(Aᶜ ∩ Bᶜ) = 1/6. Calcule, razonadamente e indicando qué resultados matemáticos se usan, las probabilidades pedidas a continuación. Nota: Aᶜ denota el suceso contrario (o complementario) del suceso A.
- Madrid 2026 · Ordinaria · incidencias · 4.12,5 puntosUna cadena de gimnasios quiere estudiar el perfil de sus clientes. Se asume que la edad de sus clientes sigue una distribución normal con media μ = 35 años y desviación típica σ = 12 años.
- Madrid 2026 · Ordinaria · incidencias · 4.22,5 puntosEl peso de los paquetes de pipas de girasol que produce una determinada empresa sigue una distribución normal con media μ = 250 gramos y desviación típica σ = 8 gramos.
- Madrid 2026 · Extraordinaria · 3.12,5 puntosSe está realizando un estudio sobre la utilización de IA por parte de los estudiantes universitarios en la elaboración de trabajos académicos. En dicho estudio participan un 30 % de estudiantes de Humanidades, un 45 % de estudiantes de Ciencias y un 25 % de estudiantes de Derecho. Además, por estudios anteriores, se estima que, en Humanidades el 15 % de los estudiantes utilizan la IA, en Ciencias el 5 % y en Derecho el 25 %.
- Madrid 2026 · Extraordinaria · 3.22,5 puntosSe consideran dos sucesos A y B tales que P(A ∩ B) = 0,1, P(Aᶜ ∩ Bᶜ) = 0,7 y P(A | B) = 0,4, donde Sᶜ es el suceso complementario del suceso S (representado con una barra superior en el PDF). Resuelva las siguientes preguntas:
- Madrid 2026 · Extraordinaria · incidencias · 3.12,5 puntosDe dos sucesos A y B se sabe que P(A) = 0,5, P(A | B) = 1/3 y P(A ∪ B) = 0,9.
- Madrid 2026 · Extraordinaria · incidencias · 3.22,5 puntosSusana tiene dos cuentas en una red social: una personal y la otra de su marca de cosmética natural. Solo el 20 % de las publicaciones las hace en su cuenta personal. En la cuenta de la marca de cosmética solo el 50 % de las publicaciones recibe más de 100 likes, mientras que este porcentaje es del 70 % en su cuenta personal.
- Madrid 2026 · Extraordinaria · incidencias · 4.12,5 puntosLa cosmética natural se sitúa como un segmento relevante y en expansión en el mercado cosmético español. Una investigación realizada por Susana sugiere que el 83 % de los clientes de una plataforma de comercio electrónico especializada en productos cosméticos, manifiestan preferencia por productos de cosmética natural.
- Madrid 2026 · Extraordinaria · incidencias · 4.22,5 puntosLa plataforma de comercio electrónico especializada en productos cosméticos que ha investigado Susana sabe que el gasto anual de sus clientes se puede aproximar por una distribución normal de media μ euros y desviación típica σ = 25 euros.
- Madrid 2025 · Ordinaria · 3.12,5 puntosPara poder participar en el concurso «Mejor Jabón Artesano del año» es necesario pasar un control de calidad muy exigente. Un maestro jabonero sabe que el 90 % de sus pastillas de jabón hechas a mano pasarían sin problemas este control de calidad.
- Madrid 2025 · Ordinaria · 3.22,5 puntosPara poder participar en el concurso «Mejor Jabón Artesano del año» es necesario pasar un control de calidad muy exigente. El peso de las pastillas de jabón de este artesano se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media μ gramos y desviación típica 30 gramos.
- Madrid 2025 · Ordinaria · 4.12,5 puntosEn un concesionario el 50 % de sus ventas son de automóviles microhíbridos, el 35 % híbridos y el resto eléctricos enchufables. El acabado más alto de gama se vende en el 80 % de los eléctricos enchufables, el 60 % de los híbridos y el 45 % de los microhíbridos. Se selecciona una operación de venta al azar.
- Madrid 2025 · Ordinaria · 4.22,5 puntosDe tres sucesos A, B y C se sabe que A y C son sucesos disjuntos, A y B son independientes y se tienen las siguientes probabilidades: P(A) = 0,25, P(B) = 0,2 y P(B ∩ C) = 0,05.
- Madrid 2025 · Ordinaria · incidencias · 3.22,5 puntosEn cierta provincia española se sabe que la altura de las estudiantes de segundo de Bachillerato se puede aproximar por una distribución normal de media μ centímetros y desviación típica σ = 10 centímetros.
- Madrid 2025 · Ordinaria · incidencias · 4.12,5 puntosDe los 400 estudiantes de segundo de Bachillerato de un instituto a 150 les gusta jugar al fútbol, a 200 les gusta jugar al voleibol y a 100 les gusta jugar a ambos deportes. Elegido un estudiante al azar:
- Madrid 2025 · Ordinaria · incidencias · 4.22,5 puntosLos clientes potenciales de un comercio local, Mitienda, vienen de alguno de los municipios M₁, M₂ o M₃. En M₁ el 20 % de la población compra en Mitienda, siendo estos porcentajes del 10 % en M₂ y del 8 % en M₃. Además se sabe que el 50 % de la población vive en M₁, el 30 % en M₂ y el 20 % en M₃.
- Madrid 2025 · Extraordinaria · 12,5 puntosLa empresa tecnológica Pear acaba de lanzar la nueva versión para 2025 de su smartphone insignia, el P25. En la red social Rettiwt se ha generado una alta expectación y los primeros compradores del P25 han comenzado a publicar fotos con sus dispositivos y sus opiniones. La mayoría de estas opiniones son positivas, pero hay una minoría de usuarios que reporta un calentamiento excesivo del P25 que genera en pantalla el mensaje de aviso «El P25 necesita enfriarse para poder usarlo». Con el objetivo de recabar más información para su próximo vídeo, el youtuber @solo_reviews ha abierto un hilo para solicitar a los compradores verificados del P25 que reporten si han experimentado o no sobrecalentamiento repentino en sus smartphones, entendiendo este como el que origina el aviso en condiciones normales de uso. Un total de 288 compradores verificados responden en el hilo, de los cuales 20 reportan haber visto el mensaje de enfriamiento necesario en condiciones de uso normales. Dado el perfil de los seguidores de @solo_reviews, se asume que esta es una muestra aleatoria simple. Ante el ruido generado en las redes sociales, la empresa Pear lanza el siguiente comunicado en Rettiwt: «En Pear aclaramos: no hay problemas generalizados en nuestro nuevo P25. El sobrecalentamiento afecta al 2 % de dispositivos al estar exclusivamente limitado a un lote defectuoso de un proveedor. Estamos contactando a los clientes afectados para ofrecer una solución inmediata. #PearSupport #P25»
- Madrid 2025 · Extraordinaria · 4.12,5 puntosSean A, B y C tres sucesos. Se sabe que A y B son independientes. Además, se conoce la siguiente información: P(A) = 0,4, P(Bᶜ) = 0,7, P(C) = 0,5 y P(A ∩ B | C) = 0,2, donde Bᶜ denota el suceso complementario de B (representado con una barra superior en el PDF).
- Madrid 2025 · Extraordinaria · 4.22,5 puntosEn una clínica veterinaria se utiliza una prueba médica para detectar la insuficiencia renal en gatos adultos. Se sabe lo siguiente: el porcentaje de gatos adultos con insuficiencia renal es del 5 %; si el gato adulto tiene insuficiencia renal, la prueba da positivo el 90 % de las veces; y si el gato adulto no tiene insuficiencia renal, la prueba da positivo el 10 % de las veces.
- Madrid 2025 · Extraordinaria · incidencias · 3.22,5 puntosUna organización no gubernamental (ONG) quiere saber qué cantidad de dinero dedican las familias a actividades de interés social y en qué tipo de actividades están interesadas. Para ello se selecciona un municipio al azar. Se sabe que el 70 % de las familias del municipio destina una parte de su presupuesto a actividades de interés social. Si se seleccionan 200 familias al azar:
- Madrid 2025 · Extraordinaria · incidencias · 4.12,5 puntosSean A y B dos sucesos resultado de un experimento aleatorio tales que P(A) = 0,5, P(Bᶜ) = 0,4 y P(A ∪ B) = 0,8, siendo Bᶜ el suceso complementario de B.
- Madrid 2025 · Extraordinaria · incidencias · 4.22,5 puntosUn ayuntamiento ha sacado a concurso una convocatoria para la construcción de un Centro de Salud de Atención Primaria. Al concurso se han presentado tres constructoras, Horizon, Vértice XXI y CuadraNova, que tienen una probabilidad de conseguir el contrato de 0,5; 0,3 y 0,2 respectivamente. La probabilidad de que el Centro de Salud esté terminado en la fecha prevista es de 0,6 si la obra se le encarga a Horizon, 0,2 si se le adjudica a Vértice XXI y 0,9 si la realiza CuadraNova.
- Madrid 2027 · Modelo · 3.12,5 puntosEn un club de lectura de un municipio de Madrid se sabe que al 30 % de los socios les gustan los libros de novela histórica, mientras que al 50 % de los socios les gustan los libros de ciencia ficción. Además se sabe que la probabilidad de que a un socio le gusten los libros de novela histórica sabiendo que le gustan los libros de ciencia ficción es 0,2.
- Madrid 2027 · Modelo · 3.22,5 puntosEn la plantilla de un equipo de balonmano de la liga Asobal se sabe que el 50 % de los jugadores son nacionales, el 40 % son comunitarios y el 10 % restante extracomunitarios. Se sabe que la probabilidad de que un jugador sea elegido para jugar en su selección nacional es del 80 % si el jugador es nacional, del 50 % si el jugador es comunitario y del 40 % si el jugador es extracomunitario.
- Madrid 2027 · Modelo · 4.22,5 puntosEl 90 % de los atletas que se inscriben en una maratón completan la totalidad de sus 42,195 km.
- Madrid 2026 · Modelo · 12,5 puntosEn la Comunidad Autónoma de Aragón se encuentra la única Denominación de Origen Protegida (DOP) de melocotón, el Melocotón de Calanda, que celebró su 26º aniversario en 2025. El Departamento de Agricultura de Aragón registró comercialmente para la DOP tres variedades tradicionales de este producto, Jesca, Calante y Evaisa. La DOP exige unas características que deben cumplir sus frutos en cuanto a su aspecto, coloración, calibre, dureza, contenido en azúcar, etc.
- Madrid 2026 · Modelo · 4.12,5 puntosDe dos sucesos A y B se sabe que P(B) = 0,5, P(A | B) = 0,2 y P(A ∪ B) = 0,8.
- Madrid 2026 · Modelo · 4.22,5 puntosEn una comunidad de vecinos se ha realizado una votación para analizar la conveniencia de instalar placas solares como medida de ahorro energético. El 26 % de los propietarios votaron en blanco y el resto se repartieron por igual entre los favorables a esta medida y los que votaron en contra. Un 10 % de los que votaron en blanco son propietarios que tienen la vivienda alquilada. Entre los propietarios favorables a esta medida, un 18 % también la tienen alquilada y solo un 5 % la tienen alquilada entre los propietarios que votaron en contra. Como no hay voluntarios, el presidente de la Comunidad para el próximo año se elegirá por sorteo entre los propietarios de todas las viviendas.
- Madrid 2025 · Modelo · 3.12,5 puntosUna comunidad autónoma española quiere evaluar el nivel de compromiso con el reciclaje de sus ciudadanos y ciudadanas. Para ello, se realiza un estudio en dos municipios seleccionados al azar. En el primer municipio, la proporción de personas comprometidas con el reciclaje es de p = 0,7. Se toma una muestra aleatoria simple de 600 personas de dicho municipio.
- Madrid 2025 · Modelo · 4.12,5 puntosDe dos sucesos A y B sabemos que: P(A ∪ B) = 1, P(B) = 0,8 y P(Aᶜ) = 0,55, donde Aᶜ es el suceso complementario de A.
- Madrid 2025 · Modelo · 4.22,5 puntosEn los premios Grammy Latino, se sabe que el 40 % de los artistas nominados en la categoría de Mejor Álbum del Año son dúos, el 30 % son grupos musicales (más de dos artistas) y el 30 % son solistas. Además, se ha observado que el 20 % de los dúos, el 15 % de los grupos musicales y el 25 % de los solistas nominados han ganado el premio de Mejor Álbum del Año. Eligiendo al azar un artista nominado al Mejor Álbum del Año, y sabiendo que en este concurso los artistas solo pueden presentarse por una de las tres categorías musicales, calcule la probabilidad de que:
Otros años · aún sin clasificar por temas
- 2024Ordinaria y ExtraordinariaOrdinaria de 2024: PDF oficialExtraordinaria de 2024: PDF oficialSolo PDF oficial
Errores que más puntos quitan
Ordenados por lo que vale el criterio que te juegas.
Cálculo correcto de la probabilidad pedida · 1
El error que más puntos cuesta en b) es tipificar 138 y 145 tal cual. Y es discreta y la normal continua: si no corriges, pierdes la mitad de cada extremo y la probabilidad baja a ≈ 0,40. Como los dos extremos están incluidos, amplía medio punto por cada lado (137,5 y 145,5) antes de tipificar. Vigila también que en b) se usa p = 0,7, no el 0,3 de a).
Madrid 2025 · Extraordinaria · incidencias · 3.2: ver el ejercicioPlanteamiento correcto de la probabilidad · 1
El error que más puntos cuesta en el apartado b es usar en el numerador el 18 % de la rama a favor, que es la probabilidad de alquilar, en vez de su complementario. La condición es «no tiene la vivienda alquilada», así que la rama que cuenta acaba en Alᶜ: entre los favorables, 1 − 0,18 = 0,82. Y el denominador tiene que ser P(Alᶜ) = 0,8889, no P(Al).
Madrid 2026 · Modelo · 4.2: ver el ejercicioPlanteamiento correcto de la probabilidad y tipificación correcta · 0,8
Después del intervalo se suele seguir dividiendo entre √n y tipificar el apartado b) con 25/9. Pero aquí se elige un único cliente: su gasto sigue la normal de la población, con σ = 25. La desviación σ/√n es la de la media muestral, que en b) no aparece. Con 25/9 los extremos tipificados se disparan y la probabilidad sale casi 1. Pregúntate siempre si la variable es un individuo o una media.
Madrid 2026 · Extraordinaria · incidencias · 4.2: ver el ejercicio
Los conceptos, explicados
Qué dice cada uno, cómo se aplica en el examen y una figura para verlo en movimiento. Todos los conceptos.
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Otros temas de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II
Ejercicios resueltos de la PAU de Madrid, agrupados por lo que te preguntan. Todos los exámenes.
Preguntas frecuentes
Sobre probabilidad en Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II de Madrid.
¿Cuánto valen los ejercicios de probabilidad en la PAU de Madrid?
En los exámenes resueltos de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II: la 1 de la ordinaria de 2026 (2,5 puntos), la 4.1 de la ordinaria de 2026 (2,5 puntos), la 4.2 de la ordinaria de 2026 (2,5 puntos), la 2.1 de la ordinaria · incidencias de 2026 (2,5 puntos), la 2.2 de la ordinaria · incidencias de 2026 (2,5 puntos) y la 4.1 de la ordinaria · incidencias de 2026 (2,5 puntos). Las preguntas con número 4.1, 5.2… son optativas: eliges una de las dos de su grupo.
¿Qué entra en probabilidad?
Sucesos, probabilidad condicionada y total, teorema de Bayes y distribuciones binomial y normal.
¿Puedo corregirme un ejercicio de probabilidad?
Todavía no con foto: corregir con foto abre muy pronto. Mientras tanto, compara tu folio con la solución paso a paso de los 35 ejercicios resueltos de esta página y márcate con los criterios oficiales.
¿Hay ejercicios de probabilidad de otros años?
Sí, pero aún no los hemos resuelto ni clasificado por temas. De 2024 tienes el PDF oficial de la universidad en la página de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II de Madrid.