PAU Madrid 2026 · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · Ordinaria · incidencias

Pregunta 4.1: edad de los clientes de un gimnasio: normal e intervalo de confianza para la media

Tema · Probabilidad
Concepto · Distribución normal
Opcional · 4.1 o 4.2
Solución verificada

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a)P(30 ≤ X ≤ 45) ≈ 0,4595: tipificando, P(−0,42 ≤ Z ≤ 0,83) = 0,7967 − 0,3372.
b)(34,7854; 38,2146) años, con z_(α/2) = 1,75 y E ≈ 1,7146 años; al 98 % la amplitud es mayor, porque z_(α/2) sube a 2,33 con el mismo σ y el mismo n.

Pregunta 4.1

PAU Madrid 2026 · Ordinaria · incidenciasEstadística2,5 puntos

Una cadena de gimnasios quiere estudiar el perfil de sus clientes. Se asume que la edad de sus clientes sigue una distribución normal con media μ = 35 años y desviación típica σ = 12 años.

a)Calcule la probabilidad de que un cliente elegido al azar tenga entre 30 y 45 años, ambos inclusive. (1 p)
b)Se ha tomado una muestra aleatoria de 150 clientes y se ha observado que, para dicha muestra, la edad media es de 36,5 años. Calcule el intervalo de confianza al 92 % para la edad media de los clientes del gimnasio. Si el nivel de confianza para la edad media de los clientes del gimnasio fuera del 98 %, justifique si la amplitud del intervalo sería mayor o menor. (1,5 p)

Con el examen se entrega: Tabla de la distribución normal N(0; 1).

Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 · Ordinaria (incidencias) · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UCM. Solución verificada con sus criterios.

Examen oficial en PDF (ucm.es)

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Dónde están los puntos

Así reparte el tribunal 2,5 puntos.

Los criterios, a escala2,5puntos

Criterios oficialesPuntos

01a) Definición de la probabilidad pedida y tipificación correcta0,4
02a) Cálculo correcto de la probabilidad pedida0,6
03b) Determinación del valor z_(α/2)0,4
04b) Aplicación de la fórmula del error y obtención del mismo0,4
05b) Determinación correcta del intervalo de confianza al 92 %0,3
06b) Justificación correcta de la mayor amplitud del intervalo0,4

Criterio general: La calificación debe hacerse en múltiplos de 0,1 puntos.

Inténtalo primero

Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.

Pista 1 · ¿Cómo se pasa a la normal estándar?

Tipifica con Z = (X − μ)/σ y recuerda que la tabla solo da probabilidades acumuladas de valores positivos de Z.

Pista 2 · ¿Qué cambia al subir la confianza?

Para el intervalo, saca z_(α/2) del nivel de confianza y mira qué parte de la fórmula del error depende de ese nivel.

Solución paso a paso

Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.

01a · Define la probabilidad pedida y tipificaTribunal: definición de la probabilidad pedida y tipificación correcta0,4
Sea X la edad de un cliente, X ~ N(35; 12). Se pide P(30 ≤ X ≤ 45); en una variable continua incluir o no los extremos no cambia la probabilidad. Tipifica con Z = (X − 35)/12: (30 − 35)/12 = −5/12 ≈ −0,42 y (45 − 35)/12 = 10/12 ≈ 0,83, así que la probabilidad es P(−0,42 ≤ Z ≤ 0,83).
$P (30 \leq X \leq 45) = P (\frac{30 - 35}{12} \leq Z \leq \frac{45 - 35}{12}) = P (- 0,42 \leq Z \leq 0,83)$
Tribunal
Definición de la probabilidad pedida y tipificación correcta: 0,4 puntos.
0,4de 2,5
02a · Calcula la probabilidad con la tablaTribunal: cálculo correcto de la probabilidad pedida0,6
Escríbela como diferencia de acumuladas: P(Z ≤ 0,83) − P(Z ≤ −0,42). La tabla da P(Z ≤ 0,83) = 0,7967. Para el valor negativo usa la simetría: P(Z ≤ −0,42) = 1 − P(Z ≤ 0,42) = 1 − 0,6628 = 0,3372. Resta: 0,7967 − 0,3372 = 0,4595, algo menos de la mitad de los clientes.
$P (Z \leq 0,83) - (1 - P (Z \leq 0,42)) = 0,7967 - 0,3372 = 0,4595$
Tribunal
Cálculo correcto de la probabilidad pedida: 0,6 puntos.
0,6de 2,5
03b · Busca el valor crítico z_(α/2)Tribunal: determinación del valor z_(α/2)0,4
Con un nivel de confianza 1 − α = 0,92 queda α = 0,08, repartido en dos colas: α/2 = 0,04 en cada una. z_(α/2) es el valor que deja 0,96 a su izquierda: P(Z ≤ z_(α/2)) = 0,96. En el interior de la tabla, 1,75 da 0,9599 y 1,76 da 0,9608; el más cercano es z_(α/2) = 1,75.
$1 - α = 0,92 \Rightarrow \frac{α}{2} = 0,04 \Rightarrow P (Z \leq z_{α / 2}) = 0,96 \Rightarrow z_{α / 2} = 1,75$
Tribunal
Determinación del valor z_(α/2): 0,4 puntos.
0,4de 2,5
04b · Aplica la fórmula del errorTribunal: aplicación de la fórmula del error y obtención del mismo0,4
La desviación típica poblacional es conocida, σ = 12, y la muestra es de n = 150 clientes. El error máximo es E = z_(α/2)·σ/√n = 1,75·12/√150 ≈ 1,75·0,9798 ≈ 1,7146 años.
$E = z_{α / 2} \cdot \frac{σ}{\sqrt{n}} = 1,75 \cdot \frac{12}{\sqrt{150}} \approx 1,7146$
Tribunal
Aplicación de la fórmula del error y obtención del mismo: 0,4 puntos.
0,4de 2,5
05b · Escribe el intervalo de confianza al 92 %Tribunal: determinación correcta del intervalo de confianza al 92 %0,3
Centra el intervalo en la media muestral, x̄ = 36,5: (36,5 − 1,7146; 36,5 + 1,7146) = (34,7854; 38,2146) años. Con una confianza del 92 %, la edad media de los clientes de la cadena está entre unos 34,79 y 38,21 años.
$(\overline{x} - E; \overline{x} + E) = (36,5 - 1,7146; 36,5 + 1,7146) = (34,7854; 38,2146)$
Tribunal
Determinación correcta del intervalo de confianza al 92 %: 0,3 puntos.
0,3de 2,5
06b · Justifica que al 98 % el intervalo es más amplioTribunal: justificación correcta de la mayor amplitud del intervalo0,4
La amplitud es 2E = 2·z_(α/2)·σ/√n, y al cambiar solo el nivel de confianza σ y n se quedan igual. Al 98 %, α/2 = 0,01 y P(Z ≤ z_(α/2)) = 0,99, que da z_(α/2) = 2,33, mayor que 1,75. Por tanto el error crece (E ≈ 2,283) y la amplitud pasa de unos 3,43 a unos 4,57 años: es mayor. Más confianza exige un intervalo más ancho.
$z_{α / 2} = 2,33 > 1,75 \Rightarrow 2 \cdot 2,33 \cdot \frac{12}{\sqrt{150}} > 2 \cdot 1,75 \cdot \frac{12}{\sqrt{150}}$
Tribunal
Justificación correcta de la mayor amplitud del intervalo: 0,4 puntos.
0,4de 2,5

Error típico

Buscar el nivel de confianza en la tabla sin repartir α

Lo que se suele escribir: ~~P(Z ≤ z_(α/2)) = 0,92~~. Lo correcto: P(Z ≤ z_(α/2)) = 0,96

El fallo que más cuesta es buscar en la tabla 0,92, el nivel de confianza tal cual. Ese 92 % deja fuera un 8 % repartido en dos colas, un 4 % en cada una, así que z_(α/2) es el valor que deja 0,96 a su izquierda, 1,75. Con 0,92 saldría z ≈ 1,41, un error más pequeño y un intervalo demasiado estrecho, y el fallo se arrastra al error y al intervalo. Escribe α, α/2 y 1 − α/2 antes de abrir la tabla.

Cuesta los puntos de «determinación del valor z_(α/2)»: 0,4 puntos de 2,5.

Márcate con los criterios del tribunal

Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.

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Preguntas frecuentes

¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?

2,5 puntos de 10. En la pregunta 4 eliges una de dos opciones: la 4.1 o la 4.2.

¿La solución es oficial?

No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.

¿Dónde está el enunciado original?

En el PDF oficial (ucm.es): el enunciado en la página 2 y los criterios de corrección en la página 9.

Fuente

Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 · Ordinaria (incidencias) · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UCM. Publicado en ucm.es, consultado el 19 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.