PAU Madrid 2026 · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · Ordinaria · incidencias
Pregunta 2.1: dos barajas y una bolsa de bolas: probabilidad total y teorema de Bayes
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- a)P(D) = 2/5 = 0,4: por probabilidad total, (1/3)·0,6 + (2/3)·0,3 = 0,2 + 0,2, con 2 de 6 bolas azules.
- b)P(V | T) = 7/9 ≈ 0,7778: por Bayes, divide P(V ∩ T) = 7/15 entre P(T) = 0,6.
Pregunta 2.1
Tenemos una baraja de dorso azul que contiene 60 cartas de diamantes y 40 cartas de tréboles y otra baraja de dorso verde que contiene 30 cartas de diamantes y 70 cartas de tréboles. Además, tenemos una bolsa con 2 bolas azules y 4 bolas verdes. Se saca una bola de la bolsa. Si la bola es azul, se saca una carta al azar de la baraja azul. Si la bola es verde, se saca una carta al azar de la baraja de dorso verde.
- a)Calcule la probabilidad de que se saque una carta de diamantes. (1,5 p)
- b)Si la carta extraída es de tréboles, ¿cuál es la probabilidad de que su dorso sea verde? (1 p)
Con el examen se entrega: Tabla de la distribución normal N(0; 1).
Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 · Ordinaria (incidencias) · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UCM. Solución verificada con sus criterios.
Examen oficial en PDF (ucm.es)Corregir con foto abre muy pronto
Dónde están los puntos
Así reparte el tribunal 2,5 puntos.
- 01a) Definición correcta de los sucesos0,3
- 02a) Planteamiento correcto de la probabilidad0,7
- 03a) Cálculo correcto de la probabilidad0,5
- 04b) Planteamiento correcto de la probabilidad0,5
- 05b) Cálculo correcto de la probabilidad0,5
Criterio general: La calificación debe hacerse en múltiplos de 0,1 puntos.
Inténtalo primero
Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.
Pista 1 · ¿Qué decide de qué baraja se saca?
La bola decide de qué baraja sale la carta: calcula la probabilidad de cada color con la composición de la bolsa y monta un diagrama de árbol de dos niveles.
Pista 2 · ¿Cuál es la condición en el apartado b?
En b) lo que sabes es el palo de la carta y lo que preguntas es la baraja, así que la condición va al revés que en el árbol.
Solución paso a paso
Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.
01a · Define los sucesosTribunal: definición correcta de los sucesos0,3
Sea A «la bola es azul», que equivale a sacar la carta de la baraja de dorso azul, y V «la bola es verde», que equivale a la baraja de dorso verde. Sea D «la carta es de diamantes» y T «la carta es de tréboles», su contrario. De la bolsa, P(A) = 2/6 = 1/3 y P(V) = 4/6 = 2/3. De las barajas, P(D | A) = 60/100 = 0,6 y P(D | V) = 30/100 = 0,3.
02a · Plantea la probabilidad totalTribunal: planteamiento correcto de la probabilidad0,7
A y V forman un sistema completo de sucesos: la bola es de un color o del otro, y ese color decide la baraja. Por el teorema de la probabilidad total, P(D) = P(A)·P(D | A) + P(V)·P(D | V). Un diagrama de árbol con la bola en el primer nivel y el palo en el segundo deja este planteamiento a la vista.
03a · Calcula la probabilidadTribunal: cálculo correcto de la probabilidad0,5
Sustituye: P(D) = (1/3)·0,6 + (2/3)·0,3 = 0,2 + 0,2 = 0,4. La probabilidad de sacar una carta de diamantes es 2/5 = 0,4. Las dos ramas aportan lo mismo: la baraja azul tiene el doble de diamantes, pero se elige la mitad de veces.
04b · Plantea la probabilidad condicionadaTribunal: planteamiento correcto de la probabilidad0,5
Sabes que la carta es de tréboles y preguntas por la baraja: es P(V | T), la condicionada al revés del árbol. Por el teorema de Bayes, P(V | T) = P(V)·P(T | V) / P(T), con P(T | V) = 70/100 = 0,7 y P(T) = 1 − P(D), porque T es el contrario de D.
05b · Calcula la probabilidadTribunal: cálculo correcto de la probabilidad0,5
El numerador es P(V ∩ T) = (2/3)·0,7 = 7/15 y el denominador, P(T) = 1 − 0,4 = 0,6 = 3/5. Así, P(V | T) = (7/15)/(3/5) = 7/9 ≈ 0,7778. Tiene sentido que supere a P(V) = 2/3: un trébol hace más probable la baraja verde, que tiene más tréboles.
Error típico
Dar probabilidad 1/2 a cada baraja
Lo que se suele escribir: P(A) = 1/2. Lo correcto: P(A) = 2/6 = 1/3
Como hay dos barajas, es tentador dar a cada una probabilidad 1/2. Pero la baraja no se elige al azar entre dos: la decide una bola de una bolsa con 2 azules y 4 verdes, así que P(A) = 1/3 y P(V) = 2/3. Con 1/2 para cada rama el planteamiento ya no es el del problema y sale P(D) = 0,45 en vez de 0,4; el error arrastra además el apartado b. Antes de multiplicar, mira qué experimento elige la rama del árbol.
Cuesta los puntos de «planteamiento correcto de la probabilidad»: 0,7 puntos de 2,5.
Márcate con los criterios del tribunal
Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.
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Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?
2,5 puntos de 10. En la pregunta 2 eliges una de dos opciones: la 2.1 o la 2.2.
¿La solución es oficial?
No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.
¿Dónde está el enunciado original?
En el PDF oficial (ucm.es): el enunciado en la página 1 y los criterios de corrección en la página 8.
Fuente
Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 · Ordinaria (incidencias) · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UCM. Publicado en ucm.es, consultado el 19 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.