PAU Madrid 2026 · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · Ordinaria · incidencias

Pregunta 3.1: función a trozos con exponencial y racional: área, continuidad y crecimiento

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a)El área vale (e⁵ − e)/2 ≈ 72,85 u²: e²ˣ⁺³ > 0, con primitiva e²ˣ⁺³/2.
b)Es solo discontinua en x = 1: sus laterales son e⁵ y 8/5.
c)f crece en (1, +∞) y no decrece en ningún intervalo: f′(x) = (2x² + 6x + 11)/(2x + 3)² > 0.

Pregunta 3.1

PAU Madrid 2026 · Ordinaria · incidenciasAnálisis2,5 puntos

Consideremos la función f(x) = e²ˣ⁺³ si x ≤ 1; f(x) = (x² + 5x + 2)/(2x + 3) si x > 1.

a)Calcule el área limitada por la función dada y el eje de abscisas en el intervalo [−1, 1]. (1 p)
b)Estudie la continuidad de la función. (0,5 p)
c)Estudie el crecimiento y decrecimiento de la función en el intervalo (1, ∞). (1 p)

Con el examen se entrega: Tabla de la distribución normal N(0; 1).

Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 · Ordinaria (incidencias) · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UCM. Solución verificada con sus criterios.

Examen oficial en PDF (ucm.es)

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Dónde están los puntos

Así reparte el tribunal 2,5 puntos.

Los criterios, a escala2,5puntos

Criterios oficialesPuntos

01a) Justificación de que la función no corta al eje de abscisas0,3
02a) Cálculo correcto de la integral0,4
03a) Cálculo correcto del área0,3
04b) Justificación correcta de la continuidad en x < 10,1
05b) Justificación correcta de la continuidad en x > 10,1
06b) Aplicación correcta de la definición de continuidad en x = 10,2
07b) Determinación de la no continuidad de f(x) en x = 10,1
08c) Cálculo correcto de la derivada0,5
09c) Cálculo correcto del intervalo de crecimiento0,5

Criterio general: La calificación debe hacerse en múltiplos de 0,1 puntos.

Inténtalo primero

Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.

Pista 1 · ¿Qué trozo actúa en el intervalo?

Antes de integrar, mira qué trozo de la función actúa en [−1, 1] y si cambia de signo en ese intervalo.

Pista 2 · ¿Qué comparas en el punto de unión?

En x = 1 compara el valor de la función con sus dos límites laterales; en (1, ∞) basta con el signo de la derivada del cociente.

Solución paso a paso

Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.

01a · Comprueba que la función no corta al ejeTribunal: justificación de que la función no corta al eje de abscisas0,3
En [−1, 1] todos los puntos cumplen x ≤ 1, así que actúa el trozo f(x) = e²ˣ⁺³. Una exponencial es siempre positiva: e²ˣ⁺³ > 0 para todo x, de modo que la gráfica no corta al eje de abscisas y queda entera por encima. El área es directamente la integral de −1 a 1, sin partir el intervalo.
Tribunal
Justificación de que no corta al eje de abscisas: 0,3 puntos.
0,3de 2,5
02a · Calcula la integral con la regla de BarrowTribunal: cálculo correcto de la integral0,4
Como la derivada de e²ˣ⁺³ es 2e²ˣ⁺³, una primitiva es e²ˣ⁺³/2. Por la regla de Barrow, en x = 1 vale e⁵/2 y en x = −1 vale e¹/2 = e/2. Comprueba la primitiva derivándola: (e²ˣ⁺³/2)′ = e²ˣ⁺³.
$\int_{- 1}^{1} e^{2 x + 3} d x = [\frac{e^{2 x + 3}}{2}]_{- 1}^{1} = \frac{e^{5}}{2} - \frac{e}{2}$
Tribunal
Cálculo correcto de la integral: 0,4 puntos.
0,4de 2,5
03a · Da el áreaTribunal: cálculo correcto del área0,3
Área = (e⁵ − e)/2 ≈ (148,41 − 2,72)/2 ≈ 72,85 u². Es positiva, como debe ser con la función por encima del eje.
$A = \frac{e^{5} - e}{2} \approx 72,85 u^{2}$
Tribunal
Cálculo correcto del área: 0,3 puntos. No se penalizará por no dar el área en u²
0,3de 2,5
04b · Justifica la continuidad en x < 1Tribunal: justificación correcta de la continuidad en x < 10,1
Para x < 1, f(x) = e²ˣ⁺³ es la exponencial compuesta con un polinomio, continua en todo ℝ. Por tanto f es continua en (−∞, 1).
Tribunal
Justificación correcta de la continuidad en x < 1: 0,1 puntos.
0,1de 2,5
05b · Justifica la continuidad en x > 1Tribunal: justificación correcta de la continuidad en x > 10,1
Para x > 1, f es un cociente de polinomios: solo puede fallar donde se anula el denominador. 2x + 3 = 0 en x = −3/2, que no está en (1, ∞), así que f es continua en (1, ∞).
Tribunal
Justificación correcta de la continuidad en x > 1: 0,1 puntos.
0,1de 2,5
06b · Aplica la definición de continuidad en x = 1Tribunal: aplicación correcta de la definición de continuidad en x = 10,2
f es continua en x = 1 si existe f(1) y coincide con los dos límites laterales. f(1) = e⁵, porque x = 1 entra en el trozo de x ≤ 1. Por la izquierda el límite es e⁵; por la derecha, (1 + 5 + 2)/(2 + 3) = 8/5.
$\lim_{x \to 1^{-}} e^{2 x + 3} = e^{5} = f (1)$
$\lim_{x \to 1^{+}} \frac{x^{2} + 5 x + 2}{2 x + 3} = \frac{8}{5}$
Tribunal
Aplicación correcta de la definición de continuidad en x = 1: 0,2 puntos.
0,2de 2,5
07b · Concluye que no es continua en x = 1Tribunal: determinación de la no continuidad de f(x) en x = 10,1
Los límites laterales no coinciden, e⁵ ≈ 148,41 frente a 8/5 = 1,6, así que no existe el límite en x = 1 y f no es continua ahí (discontinuidad de salto finito). Conclusión: f es continua en ℝ − {1}.
Tribunal
Determinación de la no continuidad de f(x) en x = 1: 0,1 puntos.
0,1de 2,5
08c · Deriva el cocienteTribunal: cálculo correcto de la derivada0,5
En (1, ∞), f(x) = (x² + 5x + 2)/(2x + 3). Con la regla del cociente, el numerador es (2x + 5)(2x + 3) − 2(x² + 5x + 2) = 4x² + 16x + 15 − 2x² − 10x − 4 = 2x² + 6x + 11.
$f^{'} (x) = \frac{(2 x + 5) (2 x + 3) - 2 (x^{2} + 5 x + 2)}{{(2 x + 3)}^{2}} = \frac{2 x^{2} + 6 x + 11}{{(2 x + 3)}^{2}}$
Tribunal
Cálculo correcto de la derivada: 0,5 puntos.
0,5de 2,5
09c · Estudia el signo de la derivadaTribunal: cálculo correcto del intervalo de crecimiento0,5
El denominador (2x + 3)² es positivo en (1, ∞). El numerador 2x² + 6x + 11 no tiene raíces reales (discriminante 36 − 88 = −52 < 0) y su coeficiente principal es positivo, así que es siempre positivo. Por tanto f′(x) > 0 en todo (1, ∞): f crece en (1, +∞) y no decrece en ningún intervalo. Comprobación: f′(2) = 31/49 > 0.
Tribunal
Cálculo correcto del intervalo de crecimiento: 0,5 puntos.
0,5de 2,5

Error típico

Olvidar el factor 1/2 de la primitiva

Lo que se suele escribir: ~~∫ e²ˣ⁺³ dx = e²ˣ⁺³ + C~~. Lo correcto: ∫ e²ˣ⁺³ dx = e²ˣ⁺³/2 + C

Al buscar la primitiva de e²ˣ⁺³ es fácil copiar la exponencial tal cual y olvidar dividir entre 2, la derivada del exponente. Así sale e⁵ − e ≈ 145,69, el doble del área real, y se pierde el cálculo de la integral. Antes de aplicar Barrow, deriva tu primitiva: si no vuelves exactamente a e²ˣ⁺³, falta el factor 1/2.

Cuesta los puntos de «cálculo correcto de la integral»: 0,4 puntos de 2,5.

Márcate con los criterios del tribunal

Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.

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Preguntas frecuentes

¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?

2,5 puntos de 10. En la pregunta 3 eliges una de dos opciones: la 3.1 o la 3.2.

¿La solución es oficial?

No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.

¿Dónde está el enunciado original?

En el PDF oficial (ucm.es): el enunciado en la página 2 y los criterios de corrección en las páginas 8 y 9.

Fuente

Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 · Ordinaria (incidencias) · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UCM. Publicado en ucm.es, consultado el 19 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.