PAU Madrid 2026 · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · Modelo, no convocatoria celebrada
Pregunta 3.1: función racional a trozos: continuidad en x = 1, asíntotas y área bajo g(x)
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- a)No es continua en x = 1 (salto: f(1⁻) = 0 y f(1⁺) = 1/4); sin asíntotas verticales, con y = −1 en ±∞ y sin oblicuas.
- b)Área = 6 u²: en [1, 3], g = 6x − 3x² y g corta al eje en x = 2, así que se suman ∫₁² g = 2 y |∫₂³ g| = 4.
Pregunta 3.1
Dada la función real de variable real definida por la siguiente expresión: f(x) = (x − 1)/(3 − x) si x < 1; f(x) = (2 − x)/(3 + x) si x ≥ 1.
- a)Estudie la continuidad de f(x) en el punto x = 1 y determine sus asíntotas. (1,3 p)
- b)Calcule el área de la región acotada del plano delimitada por la gráfica de la función g(x) = (3x² + 9x)f(x), el eje de abscisas y las rectas x = 1 y x = 3. (1,2 p)
Con el examen se entrega: Áreas bajo la distribución de probabilidad normal estándar.
Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 · Modelo orientativo · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UAH. Solución verificada con sus criterios.
Examen oficial en PDF (uah.es)Corregir con foto abre muy pronto
Dónde están los puntos
Así reparte el tribunal 2,5 puntos.
- 01a) Estudio correcto de la discontinuidad en x = 10,3
- 02a) Justificación correcta de la no existencia de asíntotas verticales0,3
- 03a) Determinación correcta de las asíntotas horizontales0,5
- 04a) Justificación correcta de la no existencia de asíntotas oblicuas0,2
- 05b) Cálculo correcto de los puntos de corte con el eje OX0,2
- 06b) Planteamiento correcto del área pedida0,5
- 07b) Cálculo correcto del área pedida0,5
Criterio general: La calificación debe hacerse en múltiplos de 0,1 puntos.
Inténtalo primero
Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.
Pista 1 · ¿Qué rama manda en cada límite?
En el apartado a, decide en cada límite qué rama de f actúa: a la izquierda de 1 y hacia −∞ la primera, desde 1 y hacia +∞ la segunda. Para las asíntotas verticales, mira si el valor que anula cada denominador cae dentro de su propia rama.
Pista 2 · ¿Qué rama de f entra en g?
En el apartado b, entre x = 1 y x = 3 solo actúa una rama de f: factoriza 3x² + 9x antes de multiplicar, porque g se simplifica. Luego busca si g corta al eje dentro del intervalo, porque si cambia de signo no puedes integrar de una vez.
Solución paso a paso
Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.
01a · Compara los límites laterales con f(1)Tribunal: estudio correcto de la discontinuidad en x = 10,3
En x = 1 manda la segunda rama, así que f(1) = (2 − 1)/(3 + 1) = 1/4, y ese es también el límite por la derecha. Por la izquierda manda la primera rama: (x − 1)/(3 − x) tiende a 0/2 = 0. Los dos límites laterales existen y son distintos, así que no existe el límite en x = 1 y f no es continua ahí: es una discontinuidad de salto finito.
02a · Justifica que no hay asíntotas verticalesTribunal: justificación correcta de la no existencia de asíntotas verticales0,3
Una asíntota vertical solo puede aparecer donde se anula un denominador dentro de su propia rama. El de la primera rama, 3 − x, se anula en x = 3, que no cumple x < 1; el de la segunda, 3 + x, se anula en x = −3, que no cumple x ≥ 1. Y en x = 1 los límites laterales son finitos (0 y 1/4). Por tanto, f no tiene asíntotas verticales.
03a · Calcula los límites en −∞ y en +∞Tribunal: determinación correcta de las asíntotas horizontales0,5
Hacia −∞ manda la primera rama y hacia +∞ la segunda, así que calcula cada límite con su fórmula. En las dos, numerador y denominador son de grado 1 y el límite es el cociente de los coeficientes de x: 1/(−1) = −1 y (−1)/1 = −1. La recta y = −1 es asíntota horizontal tanto cuando x → −∞ como cuando x → +∞.
04a · Justifica que no hay asíntotas oblicuasTribunal: justificación correcta de la no existencia de asíntotas oblicuas0,2
Por cada lado, −∞ y +∞, una función tiene como mucho una asíntota no vertical. Como f ya tiene la horizontal y = −1 en los dos lados, no puede tener asíntotas oblicuas. Dilo así de explícito: no basta con no calcularlas.
05b · Simplifica g y halla dónde corta al eje OXTribunal: cálculo correcto de los puntos de corte con el eje OX0,2
Entre x = 1 y x = 3 actúa la segunda rama de f. Factoriza 3x² + 9x = 3x(x + 3) y simplifica con el denominador 3 + x, que no se anula en [1, 3]: g(x) = 3x(2 − x) = 6x − 3x². Se anula en x = 0 y en x = 2, pero solo x = 2 está en el intervalo [1, 3].
06b · Plantea el área separando por el corteTribunal: planteamiento correcto del área pedida0,5
Como g cambia de signo en x = 2 (g(1) = 3 > 0 y g(3) = −9 < 0), la región tiene un trozo por encima del eje en [1, 2] y otro por debajo en [2, 3]. El área es la suma de las dos integrales en valor absoluto: integrar de 1 a 3 de una vez restaría un trozo del otro.
07b · Aplica Barrow en cada trozo y sumaTribunal: cálculo correcto del área pedida0,5
Una primitiva de 6x − 3x² es G(x) = 3x² − x³, con G(1) = 2, G(2) = 4 y G(3) = 0. En [1, 2] la integral vale 4 − 2 = 2 y en [2, 3] vale 0 − 4 = −4, cuyo valor absoluto es 4. El área es 2 + 4 = 6 u².
Error típico
Integrar de 1 a 3 sin partir por el corte
Lo que se suele escribir: A = ∫₁³ (6x − 3x²) dx. Lo correcto: A = ∫₁² g dx − ∫₂³ g dx
El error que más puntos cuesta en el apartado b es integrar g de 1 a 3 de una vez. Como g es positiva en [1, 2] y negativa en [2, 3], la integral resta un trozo del otro y sale −2, que no es un área. Busca primero dónde corta g al eje dentro del intervalo, parte la integral en ese punto y suma los valores absolutos: así sale 2 + 4 = 6 u².
Cuesta los puntos de «planteamiento correcto del área pedida»: 0,5 puntos de 2,5.
Márcate con los criterios del tribunal
Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.
¿Hay un error en este ejercicio?Avísanos
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Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?
2,5 puntos de 10. En la pregunta 3 eliges una de dos opciones: la 3.1 o la 3.2.
¿La solución es oficial?
No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.
¿Esta pregunta salió en la PAU?
No. Es del modelo de examen 2026 que publican las universidades para preparar la prueba: es un modelo, no una convocatoria celebrada.
¿Dónde está el enunciado original?
En el PDF oficial (uah.es): el enunciado en la página 2 y los criterios de corrección en la página 5.
Fuente
Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 · Modelo orientativo · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UAH. Publicado en uah.es, consultado el 19 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.