PAU Madrid 2026 · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · Extraordinaria
Pregunta 4.2: tangente horizontal en (1, 2) y área entre x = 1 y x = 3 de x³ + 3x² − 10x
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- a)a = −9 y b = 7: f′(1) = 9 + a = 0 y f(1) = 4 + a + b = 2.
- b)área = 29/2 = 14,5 u²: corta al eje en x = −5, x = 0 y x = 2, así que se separa en [1, 2] y [2, 3] y se suman 4,25 y 10,25.
Pregunta 4.2
Considere la función real de variable real: f(x) = x³ + 3x² + ax + b.
- a)Obtenga los valores de a y b para que la recta tangente a la función en el punto (1, 2) sea horizontal. (1 p)
- b)Si a = −10 y b = 0, calcule el área delimitada por la función, el eje horizontal y las rectas x = 1 y x = 3. (1,5 p)
Con el examen se entrega: Áreas bajo la distribución de probabilidad normal estándar.
Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 · Extraordinaria · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UCM. Solución verificada con sus criterios.
Examen oficial en PDF (ucm.es)Corregir con foto abre muy pronto
Dónde están los puntos
Así reparte el tribunal 2,5 puntos.
- 01a) Cálculo correcto del valor de a0,5
- 02a) Cálculo correcto del valor de b0,5
- 03b) Cálculo correcto de los puntos de corte con el eje OX0,3
- 04b) Planteamiento correcto del área0,4
- 05b) Obtención de la integral0,4
- 06b) Cálculo correcto del área0,4
Criterio general: La calificación debe hacerse en múltiplos de 0,1 puntos.
Inténtalo primero
Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.
Pista 1 · ¿Qué condiciones da una tangente horizontal?
Una recta tangente horizontal tiene pendiente cero, y además el punto de tangencia está en la gráfica: son dos condiciones para dos incógnitas.
Pista 2 · ¿Cambia f de signo entre x = 1 y x = 3?
Antes de integrar, busca los ceros de f entre las dos rectas y comprueba el signo en cada tramo: las zonas bajo el eje también aportan área positiva.
Solución paso a paso
Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.
01a · Iguala a cero la pendiente en x = 1Tribunal: cálculo correcto del valor de a0,5
Tangente horizontal significa pendiente cero, y la pendiente en x = 1 es f′(1). Como f′(x) = 3x² + 6x + a, queda f′(1) = 9 + a = 0, de donde a = −9. La condición de la derivada solo depende de a: b desaparece al derivar.
02a · Usa que la gráfica pasa por (1, 2)Tribunal: cálculo correcto del valor de b0,5
El punto de tangencia está en la gráfica, así que f(1) = 2: 1 + 3 + a + b = 2. Con a = −9 queda −5 + b = 2, es decir, b = 7. Comprobación: f(x) = x³ + 3x² − 9x + 7 da f(1) = 2 y f′(1) = 0.
03b · Halla dónde corta f al eje OXTribunal: cálculo correcto de los puntos de corte con el eje OX0,3
Con a = −10 y b = 0, f(x) = x³ + 3x² − 10x = x(x² + 3x − 10) = x(x + 5)(x − 2). Corta al eje en x = −5, x = 0 y x = 2. De ellos, x = 2 cae dentro de [1, 3], así que la función cambia de signo en el recinto.
04b · Plantea el área separando en x = 2Tribunal: planteamiento correcto del área0,4
En [1, 2] la función es negativa (f(1) = −6) y en [2, 3] es positiva (f(3) = 24). El área es la suma de los valores absolutos de las dos integrales, no una sola integral de 1 a 3.
05b · Calcula una primitivaTribunal: obtención de la integral0,4
Integra término a término con la regla de la potencia: F(x) = x⁴/4 + x³ − 5x². Comprobación: F′(x) = x³ + 3x² − 10x. Sus valores en los extremos son F(1) = −15/4, F(2) = −8 y F(3) = 9/4.
06b · Aplica Barrow y suma las dos partesTribunal: cálculo correcto del área0,4
En [1, 2], F(2) − F(1) = −8 + 15/4 = −17/4, que en valor absoluto es 4,25. En [2, 3], F(3) − F(2) = 9/4 + 8 = 41/4 = 10,25. El área vale 4,25 + 10,25 = 29/2 = 14,5 u².
Error típico
Integrar de 1 a 3 sin separar en el corte con el eje
Lo que se suele escribir: Área = ∫₁³ f(x) dx = 6. Lo correcto: Área = 4,25 + 10,25 = 14,5
Lo más frecuente es integrar de golpe de 1 a 3 y dar 6 como área. Ese número es la integral, no el área: la parte de [1, 2], que queda bajo el eje, resta en lugar de sumar. Busca primero los cortes con el eje dentro del intervalo (aquí x = 2), separa la integral en ese punto y suma los valores absolutos: 4,25 + 10,25 = 14,5.
Cuesta los puntos de «planteamiento correcto del área»: 0,4 puntos de 2,5.
Márcate con los criterios del tribunal
Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.
¿Hay un error en este ejercicio?Avísanos
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Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?
2,5 puntos de 10. En la pregunta 4 eliges una de dos opciones: la 4.2 o la 4.1.
¿La solución es oficial?
No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.
¿Dónde está el enunciado original?
En el PDF oficial (ucm.es): el enunciado en la página 2 y los criterios de corrección en la página 8.
Fuente
Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 · Extraordinaria · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UCM. Publicado en ucm.es, consultado el 19 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.