PAU Madrid 2026 · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · Extraordinaria
Pregunta 2.1: inversa de AB + I y valor de k en AAᵗ − kBᵗB = C
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- a)D = (1 −2; −1 5/2): AB = (4 4; 2 1), y AB + I = (5 4; 2 2) tiene determinante 2, así que se invierte con la adjunta.
- b)k = 3: con AAᵗ = (11 3; 3 5) y BᵗB = (2 1; 1 2), igualar AAᵗ − kBᵗB a C da tres ecuaciones y las tres dan k = 3.
Pregunta 2.1
Dadas las matrices A, B y C. A se muestra en la tabla siguiente. La matriz B tiene, en este orden, las filas (1, 0), (1, 1) y (0, 1). La matriz C tiene, en este orden, las filas (5, 0) y (0, −1).
- a)Calcule, si existe, la matriz D = (AB + I)⁻¹, donde M⁻¹ significa la matriz inversa de M e I es la matriz identidad. (1 p)
- b)Obtenga, si existe, el valor de k para que se verifique AAᵗ − kBᵗB = C, donde Mᵗ representa la matriz transpuesta de la matriz M. (1,5 p)
Con el examen se entrega: Áreas bajo la distribución de probabilidad normal estándar.
Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 · Extraordinaria · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UCM. Solución verificada con sus criterios.
Examen oficial en PDF (ucm.es)Corregir con foto abre muy pronto
Dónde están los puntos
Así reparte el tribunal 2,5 puntos.
- 01a) Obtención de la expresión correcta de AB0,4
- 02a) Obtención de la expresión correcta de AB + I0,1
- 03a) Cálculo correcto de D0,5
- 04b) Cálculo correcto de AAᵗ0,5
- 05b) Cálculo correcto de BᵗB0,5
- 06b) Cálculo correcto de la igualdad con C (AAᵗ − kBᵗB igualada a C)0,2
- 07b) Cálculo correcto de k0,3
Criterio general: La calificación debe hacerse en múltiplos de 0,1 puntos.
Inténtalo primero
Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.
Pista 1 · ¿De qué orden sale cada producto?
Antes de multiplicar, escribe el orden de cada matriz: un producto solo existe si las columnas de la primera coinciden con las filas de la segunda, y solo puedes sumar o restar matrices del mismo orden.
Pista 2 · ¿Qué significa que dos matrices sean iguales?
Dos matrices son iguales cuando lo son elemento a elemento: cada casilla te da una ecuación, y el valor que buscas tiene que cumplirlas todas a la vez.
Solución paso a paso
Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.
01a · Multiplica A por BTribunal: obtención de la expresión correcta de AB0,4
A es 2 × 3 y B es 3 × 2, así que AB existe y es 2 × 2. Cada elemento es fila de A por columna de B: por ejemplo, el primero es 1·1 + 3·1 + 1·0 = 4. Sale AB = (4 4; 2 1).
02a · Suma la identidad de orden 2Tribunal: obtención de la expresión correcta de AB + I0,1
Como AB es 2 × 2, I es la identidad de orden 2: solo se suma 1 a los elementos de la diagonal. AB + I = (5 4; 2 2).
03a · Calcula la inversa DTribunal: cálculo correcto de D0,5
El determinante es 5·2 − 4·2 = 2 ≠ 0, así que la inversa existe. Para una 2 × 2 se intercambian los elementos de la diagonal principal, se cambia el signo de los otros dos y se divide entre el determinante: D = (1 −2; −1 5/2). Comprobación: (AB + I)·D = I.
04b · Calcula AAᵗTribunal: cálculo correcto de AAᵗ0,5
Aᵗ tiene por columnas las filas de A, así que es 3 × 2 y AAᵗ es 2 × 2. Cada elemento es el producto de dos filas de A: 1² + 3² + 1² = 11, 1·2 + 3·0 + 1·1 = 3 y 2² + 0² + 1² = 5. Sale AAᵗ = (11 3; 3 5), simétrica como debe ser.
05b · Calcula BᵗBTribunal: cálculo correcto de BᵗB0,5
En la igualdad aparece BᵗB: Bᵗ es 2 × 3 y B es 3 × 2, así que el producto es 2 × 2, del mismo orden que AAᵗ y que C. Cada elemento es el producto de dos columnas de B: 1² + 1² + 0² = 2, 1·0 + 1·1 + 0·1 = 1 y 0² + 1² + 1² = 2. Sale BᵗB = (2 1; 1 2).
06b · Plantea la igualdad con CTribunal: cálculo correcto de la igualdad con C (AAᵗ − kBᵗB igualada a C)0,2
Resta k veces BᵗB a AAᵗ e iguala el resultado a C elemento a elemento: AAᵗ − kBᵗB = (11 − 2k 3 − k; 3 − k 5 − 2k) = (5 0; 0 −1).
07b · Despeja k y comprueba todas las ecuacionesTribunal: cálculo correcto de k0,3
La igualdad da tres ecuaciones distintas: 11 − 2k = 5, 3 − k = 0 y 5 − 2k = −1. Las tres dan k = 3, así que el valor existe y es k = 3. Si alguna diera otro valor, no habría ningún k que cumpliera la igualdad.
Error típico
Calcular BBᵗ en lugar de BᵗB
Lo que se suele escribir: BᵗB = (1 1 0; 1 2 1; 0 1 1). Lo correcto: BᵗB = (2 1; 1 2)
Calcular BBᵗ en lugar de BᵗB. Con B de orden 3 × 2, BBᵗ es una matriz 3 × 3 y no se puede restar de AAᵗ, que es 2 × 2, ni igualar a C. El orden de los factores importa: la traspuesta va delante. Antes de multiplicar, escribe los órdenes (2 × 3)·(3 × 2) y comprueba que el resultado es 2 × 2 como C.
Cuesta los puntos de «cálculo correcto de BᵗB»: 0,5 puntos de 2,5.
Márcate con los criterios del tribunal
Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.
¿Hay un error en este ejercicio?Avísanos
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Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?
2,5 puntos de 10. En la pregunta 2 eliges una de dos opciones: la 2.1 o la 2.2.
¿La solución es oficial?
No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.
¿Dónde está el enunciado original?
En el PDF oficial (ucm.es): el enunciado en la página 1 y los criterios de corrección en la página 7.
Fuente
Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 · Extraordinaria · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UCM. Publicado en ucm.es, consultado el 19 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.