PAU Madrid 2026 · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · Extraordinaria

Pregunta 1: mochilas de una marca deportiva: intervalo de confianza para la media y tamaño de la muestra para una proporción

Tema · Inferencia estadística
Obligatoria
Solución verificada

En breveOcultar para practicarMostrar el resultado

a)(35,45 €; 51,65 €): centrado en x̄ = 43,55, con z_(α/2) = 2,29 y E ≈ 8,10 € (2,29 · 25/√50).
b)n = 385 comercios: con z_(α/2) = 1,96 y p = q = 0,5, 1,96 · √(0,25/n) < 0,05 exige n > 384,16 y se redondea hacia arriba.

Pregunta 1

PAU Madrid 2026 · ExtraordinariaEstadística2,5 puntos

Se está realizando un estudio sobre las ventas de mochilas de una marca deportiva en los pequeños establecimientos de una gran ciudad. Esta marca tiene dos tipos de mochilas, unas realizadas con material impermeable, que están indicadas preferentemente para deportes acuáticos, y otras fabricadas en lona no impermeable.

a)Se supone que el precio de las mochilas sigue una distribución normal con desviación típica de 25 euros. Si se ha seleccionado una muestra de 50 comercios y se ha obtenido que el precio medio de venta de estas mochilas es de 43,55 euros, obtenga un intervalo de confianza al 97,8 % para la media de la distribución. (1,3 p)
b)Si se desea saber cuál es la proporción de clientes que prefieren las mochilas realizadas con material impermeable, ¿cuál es el número de comercios necesario para que dicha proporción tenga un error de muestreo inferior al 5 %? Utilice un nivel de confianza del 95 %. Considere el caso más conservador en el que p = q = 0,5. (1,2 p)

Con el examen se entrega: Áreas bajo la distribución de probabilidad normal estándar.

Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 · Extraordinaria · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UCM. Solución verificada con sus criterios.

Examen oficial en PDF (ucm.es)

Empieza a estudiar · muy pronto

Corregir con foto abre muy pronto

Dónde están los puntos

Así reparte el tribunal 2,5 puntos.

Los criterios, a escala2,5puntos

Criterios oficialesPuntos

01a) Determinación del valor crítico z_α/20,5
02a) Aplicación de la fórmula del error y obtención del mismo0,5
03a) Determinación correcta del intervalo de confianza0,3
04b) Determinación del valor crítico z_α/20,3
05b) Aplicación de la fórmula del error0,4
06b) Determinación correcta del tamaño muestral necesario0,5

Criterio general: La calificación debe hacerse en múltiplos de 0,1 puntos.

Inténtalo primero

Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.

Pista 1 · ¿Qué área buscas en la tabla?

En la tabla de la normal no se busca el nivel de confianza, sino el área que queda a la izquierda del valor crítico: reparte α entre las dos colas.

Pista 2 · ¿Qué fórmula del error usas en b?

En el apartado b no hay desviación típica de dato: el error de una proporción depende de p·q y de n. Plantea la desigualdad con n como incógnita y piensa en qué sentido hay que redondear lo que salga.

Solución paso a paso

Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.

01a · Busca z_(α/2) para el 97,8 %Tribunal: determinación del valor crítico z_α/20,5
Con un 97,8 % de confianza, 1 − α = 0,978, así que α = 0,022 y α/2 = 0,011. El valor crítico deja a su izquierda 1 − 0,011 = 0,989 de área; en la tabla, 0,9890 corresponde exactamente a z = 2,29, de modo que z_(α/2) = 2,29.
$P (Z \leq z_{α / 2}) = 1 - \frac{0,022}{2} = 0,989 \Rightarrow z_{α / 2} = 2,29$
Tribunal
Determinación del valor z_(α/2): 0,5 puntos.
0,5de 2,5
02a · Aplica la fórmula del errorTribunal: aplicación de la fórmula del error y obtención del mismo0,5
El precio sigue una normal con σ = 25 conocida, así que el error máximo es E = z_(α/2) · σ/√n. Con n = 50, σ/√n = 25/√50 ≈ 3,5355 y E = 2,29 · 3,5355 ≈ 8,10 euros.
$E = z_{α / 2} \cdot \frac{σ}{\sqrt{n}} = 2,29 \cdot \frac{25}{\sqrt{50}} \approx 8,10$
Tribunal
Aplicación de la fórmula del error y obtención del mismo: 0,5 puntos.
0,5de 2,5
03a · Construye el intervalo alrededor de la mediaTribunal: determinación correcta del intervalo de confianza0,3
El intervalo se centra en la media muestral x̄ = 43,55 y se abre E a cada lado: (43,55 − 8,10; 43,55 + 8,10) = (35,45; 51,65) euros. Con un 97,8 % de confianza, el precio medio de venta de las mochilas está en ese intervalo.
$(\overline{x} - E, \overline{x} + E) = (35,45; 51,65)$
Tribunal
Determinación correcta del intervalo de confianza: 0,3 puntos.
0,3de 2,5
04b · Busca z_(α/2) para el 95 %Tribunal: determinación del valor crítico z_α/20,3
Ahora 1 − α = 0,95, así que α/2 = 0,025 y el valor crítico deja a su izquierda 0,975 de área. En la tabla, 0,9750 corresponde a z_(α/2) = 1,96.
Tribunal
Determinación del valor z_(α/2): 0,3 puntos.
0,3de 2,5
05b · Plantea el error para una proporciónTribunal: aplicación de la fórmula del error0,4
Para una proporción, el error es E = z_(α/2) · √(p·q/n). En el caso más conservador p = q = 0,5, así que p·q = 0,25, y el error tiene que ser inferior a 0,05: 1,96 · √(0,25/n) < 0,05. Despejando, √n > 1,96 · 0,5/0,05 = 19,6.
$1,96 \cdot \sqrt{\frac{0,5 \cdot 0,5}{n}} < 0,05 \Rightarrow \sqrt{n} > 19,6$
Tribunal
Aplicación de la fórmula del error: 0,4 puntos.
0,4de 2,5
06b · Eleva al cuadrado y redondea hacia arribaTribunal: determinación correcta del tamaño muestral necesario0,5
Al elevar al cuadrado, n > 19,6² = 384,16. El tamaño tiene que ser entero y cumplir la desigualdad, así que hacen falta al menos n = 385 comercios. Comprobación: con 384 el error sería 1,96 · √(0,25/384) ≈ 0,05001, que no es inferior a 0,05.
$n > {19,6}^{2} = 384,16 \Rightarrow n = 385$
Tribunal
Determinación correcta del tamaño muestral necesario: 0,5 puntos.
0,5de 2,5

Error típico

Buscar 0,978 en la tabla en vez de 0,989

Lo que se suele escribir: ~~P(Z ≤ z_(α/2)) = 0,978~~. Lo correcto: P(Z ≤ z_(α/2)) = 0,989

Buscar en la tabla el nivel de confianza tal cual. Si buscas el valor que deja 0,978 a su izquierda sale z ≈ 2,01, pero ese valor deja todo α = 0,022 en una sola cola. El intervalo es bilateral: α se reparte en dos colas de 0,011, así que el área a la izquierda de z_(α/2) es 0,989 y z_(α/2) = 2,29. El fallo arrastra el error y el intervalo, así que antes de abrir la tabla escribe 1 − α/2.

Cuesta los puntos de «determinación del valor crítico z_α/2»: 0,5 puntos de 2,5.

Márcate con los criterios del tribunal

Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.

¿Hay un error en este ejercicio?Avísanos

Sigue practicando

HerramientaCalculadora de nota PAU 2027 · Madrid

Preguntas frecuentes

¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?

2,5 puntos de 10. Es obligatoria: la hace todo el mundo.

¿La solución es oficial?

No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.

¿Dónde está el enunciado original?

En el PDF oficial (ucm.es): el enunciado en la página 1 y los criterios de corrección en la página 7.

Fuente

Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 · Extraordinaria · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UCM. Publicado en ucm.es, consultado el 19 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.