PAU Madrid 2026 · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · Extraordinaria
Pregunta 2.2: discusión de un sistema con parámetro a y resolución para a = 3
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- a)compatible determinado si a ≠ 1 y a ≠ −6, compatible indeterminado si a = 1 e incompatible si a = −6: |A| = (a − 1)(a + 6).
- b)(x, y, z) = (5/9, −2/9, −1/9): con a = 3, |A| = 18 y por Cramer x = 10/18, y = −4/18, z = −2/18.
Pregunta 2.2
Se considera el siguiente sistema de ecuaciones dependiente del parámetro real a, formado por las ecuaciones 3x + ay = 1, 2x − y + az = 1 y x − 3y + 2z = 1.
- a)Discuta la solución del sistema para los diferentes valores de a. (1,5 p)
- b)Resuelva el sistema para el valor a = 3. (1 p)
Con el examen se entrega: Áreas bajo la distribución de probabilidad normal estándar.
Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 · Extraordinaria · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UCM. Solución verificada con sus criterios.
Examen oficial en PDF (ucm.es)Corregir con foto abre muy pronto
Dónde están los puntos
Así reparte el tribunal 2,5 puntos. Más de la mitad está en dos criterios: discusión correcta del sistema y obtención de la solución correcta.
- 01a) Cálculo correcto de los valores de a que anulan el determinante0,3
- 02a) Discusión correcta del sistema1,2
- 03b) Obtención de la solución correcta1
Criterio general: La calificación debe hacerse en múltiplos de 0,1 puntos.
Inténtalo primero
Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.
Pista 1 · ¿Qué valores de a hay que estudiar aparte?
Escribe la matriz de coeficientes con cuidado (la primera ecuación no tiene z), calcula su determinante e iguálalo a cero.
Pista 2 · ¿Cómo distingues incompatible de indeterminado?
Para cada valor que anule el determinante, compara el rango de la matriz de coeficientes con el de la ampliada (teorema de Rouché-Frobenius).
Solución paso a paso
Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.
01a · Calcula el determinante e iguálalo a ceroTribunal: cálculo correcto de los valores de a que anulan el determinante0,3
La matriz de coeficientes tiene filas (3, a, 0), (2, −1, a) y (1, −3, 2): ojo con el 0, porque la primera ecuación no tiene z. Desarrollando por la primera fila, |A| = 3(−2 + 3a) − a(4 − a) = a² + 5a − 6 = (a − 1)(a + 6). Se anula en a = 1 y en a = −6, los dos únicos valores que hay que estudiar aparte.
02a · Discute el sistema comparando rangosTribunal: discusión correcta del sistema1,2
Si a ≠ 1 y a ≠ −6, |A| ≠ 0 y Rg(A) = Rg(A*) = 3 = número de incógnitas: compatible determinado. En los dos valores críticos Rg(A) = 2, porque el menor de las filas 2 y 3 con las columnas de x e y vale (2)(−3) − (−1)(1) = −5 ≠ 0. Si a = 1, la primera ecuación es el doble de la segunda menos la tercera (2(2x − y + z) − (x − 3y + 2z) = 3x + y y 2 · 1 − 1 = 1), así que Rg(A*) = 2 < 3: compatible indeterminado. Si a = −6, el menor de la ampliada con las columnas de x, de y y de los términos independientes vale 7 ≠ 0, así que Rg(A*) = 3 ≠ Rg(A) = 2: incompatible.
03b · Resuelve el sistema para a = 3 por CramerTribunal: obtención de la solución correcta1
Con a = 3, |A| = 9 + 15 − 6 = 18 ≠ 0: el sistema es compatible determinado y Cramer da la solución única. Sustituyendo la columna de cada incógnita por la de términos independientes salen 10, −4 y −2, así que x = 10/18 = 5/9, y = −4/18 = −2/9 y z = −2/18 = −1/9. Comprueba en la primera ecuación: 3 · 5/9 + 3 · (−2/9) = 15/9 − 6/9 = 1.
Error típico
Decidir el tipo de sistema solo con el determinante
Lo que se suele escribir: a = −6 ⇒ compatible indeterminado. Lo correcto: a = −6 ⇒ incompatible
Que |A| = 0 en a = 1 y en a = −6 solo dice que ahí el sistema no es compatible determinado; el tipo lo decide el rango de la ampliada. Es frecuente dar los dos valores como indeterminados sin calcular nada más, y eso se lleva buena parte de la discusión. Busca un menor de orden 3 de la ampliada: en a = −6 vale 7 y no hay solución; en a = 1 se anulan todos, porque la primera ecuación es combinación de las otras dos.
Cuesta los puntos de «discusión correcta del sistema»: 1,2 puntos de 2,5.
Márcate con los criterios del tribunal
Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.
¿Hay un error en este ejercicio?Avísanos
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Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?
2,5 puntos de 10. En la pregunta 2 eliges una de dos opciones: la 2.2 o la 2.1.
¿La solución es oficial?
No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.
¿Dónde está el enunciado original?
En el PDF oficial (ucm.es): el enunciado en la página 1 y los criterios de corrección en la página 7.
Fuente
Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 · Extraordinaria · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UCM. Publicado en ucm.es, consultado el 19 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.