PAU Madrid 2026 · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · Extraordinaria
Pregunta 3.1: uso de IA en trabajos universitarios: probabilidad total, Bayes y fiabilidad del detector
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- a)P(I) = 0,13: probabilidad total, 0,045 + 0,0225 + 0,0625.
- b)P(D | Iᶜ) = 25/116 ≈ 0,2155: Bayes, 0,1875 entre P(Iᶜ) = 0,87.
- c)P(I | S) = 15/19 ≈ 0,7895: Bayes dentro de Derecho, 0,225 entre P(S) = 0,285.
Pregunta 3.1
Se está realizando un estudio sobre la utilización de IA por parte de los estudiantes universitarios en la elaboración de trabajos académicos. En dicho estudio participan un 30 % de estudiantes de Humanidades, un 45 % de estudiantes de Ciencias y un 25 % de estudiantes de Derecho. Además, por estudios anteriores, se estima que, en Humanidades el 15 % de los estudiantes utilizan la IA, en Ciencias el 5 % y en Derecho el 25 %.
- a)Obtenga la probabilidad de que, elegido un trabajo al azar, haya sido realizado con la IA. (0,9 p)
- b)Si se selecciona un trabajo que no ha sido realizado con la IA, obtenga la probabilidad de que pertenezca a un estudiante de Derecho. (0,8 p)
- c)En la Facultad de Derecho, el detector de IA utilizado para este estudio tiene un 90 % de probabilidad de detectar los trabajos que realmente fueron realizados con IA, mientras que en un 8 % de las ocasiones clasifica los trabajos como realizados con la IA cuando realmente no se han realizado con dicha herramienta. Si al pasar un trabajo de un estudiante de Derecho por el detector este señala que se ha realizado con la IA, ¿cuál es la probabilidad de que efectivamente se haya realizado con la IA? (0,8 p)
Con el examen se entrega: Áreas bajo la distribución de probabilidad normal estándar.
Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 · Extraordinaria · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UCM. Solución verificada con sus criterios.
Examen oficial en PDF (ucm.es)Corregir con foto abre muy pronto
Dónde están los puntos
Así reparte el tribunal 2,5 puntos.
- 01a) Planteamiento correcto de la probabilidad0,6
- 02a) Cálculo correcto de la probabilidad0,3
- 03b) Planteamiento correcto de la probabilidad0,5
- 04b) Cálculo correcto de la probabilidad0,3
- 05c) Planteamiento correcto de la probabilidad0,5
- 06c) Cálculo correcto de la probabilidad0,3
- Penalización: Por cada suceso no definido, 0,1 puntos menos en la puntuación total de la opción (−0,1 cada vez, hasta −2,5).
Criterio general: La calificación debe hacerse en múltiplos de 0,1 puntos.
Inténtalo primero
Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.
Pista 1 · ¿Cómo organizas los datos?
Ordena los datos en un diagrama de árbol: primero la titulación y después si el trabajo se ha hecho con IA o no; para el apartado c, haz un árbol aparte solo con los trabajos de Derecho y la respuesta del detector.
Pista 2 · ¿Qué se sabe y qué se pregunta en b y c?
En los apartados b y c se conoce lo que pasa al final y se pregunta por lo de antes: piensa qué suceso va detrás de la barra de la condicionada.
Solución paso a paso
Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.
01a · Define los sucesos y plantea la probabilidad totalTribunal: planteamiento correcto de la probabilidad0,6
Llama H, C y D a que el trabajo sea de un estudiante de Humanidades, Ciencias o Derecho, e I a que se haya realizado con IA; defínelos por escrito, porque cada suceso sin definir resta 0,1 puntos en la opción. H, C y D son incompatibles y suman el 100 % (0,3 + 0,45 + 0,25 = 1), así que forman un sistema completo de sucesos y se aplica el teorema de la probabilidad total. Un árbol con la titulación en la primera rama y I o Iᶜ en la segunda lo deja a la vista.
02a · Calcula P(I)Tribunal: cálculo correcto de la probabilidad0,3
Con P(I | H) = 0,15, P(I | C) = 0,05 y P(I | D) = 0,25, las tres ramas valen 0,045, 0,0225 y 0,0625, y suman P(I) = 0,13. Es decir, el 13 % de los trabajos se ha hecho con IA.
03b · Plantea el teorema de Bayes condicionando a IᶜTribunal: planteamiento correcto de la probabilidad0,5
Ahora se sabe que el trabajo no se ha hecho con IA y se pregunta por la titulación: es P(D | Iᶜ), una condicionada «al revés» que da el teorema de Bayes. En el numerador va la rama de Derecho sin IA, con P(Iᶜ | D) = 1 − 0,25 = 0,75; en el denominador, P(Iᶜ) = 1 − P(I) = 0,87, aprovechando el apartado a.
04b · Calcula P(D | Iᶜ)Tribunal: cálculo correcto de la probabilidad0,3
P(D | Iᶜ) = 0,1875/0,87 = 25/116 ≈ 0,2155. Tiene sentido que quede por debajo de P(D) = 0,25: en Derecho se usa la IA más que en las otras titulaciones, así que saber que el trabajo no la ha usado hace algo menos probable que sea de Derecho.
05c · Define S y plantea Bayes dentro de DerechoTribunal: planteamiento correcto de la probabilidad0,5
Llama S a que el detector señale el trabajo como realizado con IA. Todo ocurre dentro de Derecho, así que la probabilidad previa de IA es 0,25 (la de Derecho, no el 0,13 global), con P(S | I) = 0,9 y P(S | Iᶜ) = 0,08 para los falsos positivos. Se sabe que el detector lo ha señalado y se pregunta si de verdad se hizo con IA: es P(I | S), por Bayes, con P(S) calculada por probabilidad total sobre I e Iᶜ.
06c · Calcula P(I | S)Tribunal: cálculo correcto de la probabilidad0,3
P(S) = 0,225 + 0,06 = 0,285, así que P(I | S) = 0,225/0,285 = 15/19 ≈ 0,7895. Aunque el detector acierta el 90 % de las veces con los trabajos hechos con IA, cerca del 21 % de los trabajos de Derecho que señala no la han usado: son muchos más los trabajos sin IA, y su 8 % de falsos positivos pesa.
Error típico
Confundir P(I | S) con P(S | I)
Lo que se suele escribir: P(I | S) = 0,9. Lo correcto: P(I | S) = 0,225/0,285
En el apartado c es tentador contestar 0,9, pero eso es P(S | I), que el detector señale un trabajo hecho con IA; se pide al revés, P(I | S), que un trabajo señalado se haya hecho de verdad con IA. Hay que contar también los falsos positivos (el 8 % de los trabajos sin IA) y dividir por P(S) = 0,285. Y la previa es la de Derecho, 0,25, no el 0,13 del apartado a.
Cuesta los puntos de «planteamiento correcto de la probabilidad»: 0,5 puntos de 2,5.
Márcate con los criterios del tribunal
Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.
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Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?
2,5 puntos de 10. En la pregunta 3 eliges una de dos opciones: la 3.1 o la 3.2.
¿La solución es oficial?
No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.
¿Dónde está el enunciado original?
En el PDF oficial (ucm.es): el enunciado en la página 2 y los criterios de corrección en la página 7.
Fuente
Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 · Extraordinaria · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UCM. Publicado en ucm.es, consultado el 19 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.