PAU Madrid 2026 · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · Extraordinaria
Pregunta 3.2: dos sucesos: P(B), unión, P(A), condicionada de complementarios e independencia
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- a)P(B) = 0,25 = 0,1/0,4.
- b)P(A ∪ B) = 0,3 = 1 − 0,7.
- c)P(A) = 0,15 = 0,3 − 0,25 + 0,1.
- d)P(Aᶜ | Bᶜ) = 14/15 ≈ 0,9333: 0,7/0,75.
- e)no son independientes: P(A)·P(B) = 0,15·0,25 = 0,0375 y P(A ∩ B) = 0,1.
Pregunta 3.2
Se consideran dos sucesos A y B tales que P(A ∩ B) = 0,1, P(Aᶜ ∩ Bᶜ) = 0,7 y P(A | B) = 0,4, donde Sᶜ es el suceso complementario del suceso S (representado con una barra superior en el PDF). Resuelva las siguientes preguntas:
- a)P(B) (0,5 p)
- b)P(A ∪ B) (0,5 p)
- c)P(A) (0,5 p)
- d)P(Aᶜ | Bᶜ) (0,5 p)
- e)¿Son independientes los sucesos A y B? Justifique la respuesta. (0,5 p)
Con el examen se entrega: Áreas bajo la distribución de probabilidad normal estándar.
Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 · Extraordinaria · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UCM. Solución verificada con sus criterios.
Examen oficial en PDF (ucm.es)Corregir con foto abre muy pronto
Dónde están los puntos
Así reparte el tribunal 2,5 puntos.
- 01a) Cálculo correcto de la probabilidad0,5
- 02b) Cálculo correcto de la probabilidad0,5
- 03c) Cálculo correcto de la probabilidad0,5
- 04d) Cálculo correcto de la probabilidad0,5
- 05e) Justificación correcta de la dependencia de los sucesos0,5
Criterio general: La calificación debe hacerse en múltiplos de 0,1 puntos.
Inténtalo primero
Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.
Pista 1 · ¿Qué fórmula usa P(A | B)?
La definición de probabilidad condicionada relaciona los tres datos de P(A | B): despeja de ella la probabilidad que no conoces.
Pista 2 · ¿Qué suceso es Aᶜ ∩ Bᶜ?
Escribe Aᶜ ∩ Bᶜ como el complementario de otro suceso con las leyes de De Morgan; con eso y la fórmula de la unión salen el resto de apartados.
Solución paso a paso
Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.
01a · Despeja P(B) de la condicionadaTribunal: cálculo correcto de la probabilidad0,5
La definición de probabilidad condicionada relaciona P(A | B) con P(A ∩ B) y P(B): P(A | B) = P(A ∩ B)/P(B). Despeja P(B) = 0,1/0,4 = 0,25. Comprobación: 0,1/0,25 = 0,4, que es el dato del enunciado.
02b · Pasa de Aᶜ ∩ Bᶜ a la unión con De MorganTribunal: cálculo correcto de la probabilidad0,5
Por las leyes de De Morgan, Aᶜ ∩ Bᶜ = (A ∪ B)ᶜ: que no ocurra ninguno de los dos es lo contrario de que ocurra al menos uno. Por tanto P(A ∪ B) = 1 − P(Aᶜ ∩ Bᶜ) = 1 − 0,7 = 0,3.
03c · Despeja P(A) de la fórmula de la uniónTribunal: cálculo correcto de la probabilidad0,5
Con P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) ya conoces todo menos P(A): 0,3 = P(A) + 0,25 − 0,1, así que P(A) = 0,3 − 0,25 + 0,1 = 0,15. Tiene sentido que P(A) ≥ P(A ∩ B) = 0,1.
04d · Calcula P(Aᶜ | Bᶜ) con la definiciónTribunal: cálculo correcto de la probabilidad0,5
Aplica la definición de condicionada a los complementarios: el numerador es P(Aᶜ ∩ Bᶜ) = 0,7, dato del enunciado, y el denominador es P(Bᶜ) = 1 − 0,25 = 0,75. Queda P(Aᶜ | Bᶜ) = 0,7/0,75 = 14/15 ≈ 0,9333.
05e · Compara P(A ∩ B) con P(A)·P(B)Tribunal: justificación correcta de la dependencia de los sucesos0,5
A y B son independientes si y solo si P(A ∩ B) = P(A)·P(B). Aquí P(A)·P(B) = 0,15·0,25 = 0,0375, distinto de P(A ∩ B) = 0,1, así que no son independientes. Lo confirma la condicionada: P(A | B) = 0,4 no coincide con P(A) = 0,15, saber que ha ocurrido B cambia la probabilidad de A.
Error típico
Restar 1 − P(A | B) para condicionar a Bᶜ
Lo que se suele escribir: P(Aᶜ | Bᶜ) = 1 − P(A | B). Lo correcto: P(Aᶜ | Bᶜ) = 0,7/0,75
En el apartado d es tentador restar a 1 la condicionada del enunciado, pero 1 − P(A | B) es P(Aᶜ | B): el complementario solo cambia el suceso de delante de la barra, no lo que se sabe. Aquí la condición es Bᶜ, así que hay que volver a la definición, P(Aᶜ ∩ Bᶜ)/P(Bᶜ), con P(Bᶜ) = 0,75 sacado del apartado a. El atajo da 0,6 y pierde los puntos del apartado.
Cuesta los puntos de «cálculo correcto de la probabilidad»: 0,5 puntos de 2,5.
Márcate con los criterios del tribunal
Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.
¿Hay un error en este ejercicio?Avísanos
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Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?
2,5 puntos de 10. En la pregunta 3 eliges una de dos opciones: la 3.2 o la 3.1.
¿La solución es oficial?
No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.
¿Dónde está el enunciado original?
En el PDF oficial (ucm.es): el enunciado en la página 2 y los criterios de corrección en la página 8.
Fuente
Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 · Extraordinaria · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UCM. Publicado en ucm.es, consultado el 19 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.