PAU Madrid 2025 · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · Modelo, no convocatoria celebrada
Pregunta 2.2: discusión de un sistema con parámetro a y resolución para a = 1
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- a)compatible determinado si a ≠ 0 y a ≠ 1, compatible indeterminado si a = 1 e incompatible si a = 0, por rangos.
- b)(x, y, z) = (2 − λ, λ, 2λ − 3), λ ∈ ℝ: con y = λ, la segunda ecuación da x = 2 − λ y la primera, z = 2λ − 3.
Pregunta 2.2
Se considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real a, formado por x − y + z = −1, ax + (−a + 2)y = 2 y 2x − (a + 3)y + (a + 2)z = −5.
- a)Discuta el sistema en función de los valores del parámetro a. (1,5 p)
- b)Resuelva el sistema de ecuaciones para a = 1. (1 p)
Con el examen se entrega: Tabla de la distribución normal N(0; 1).
Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 · Modelo orientativo · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UCM. Solución verificada con sus criterios.
Examen oficial en PDF (ucm.es)Corregir con foto abre muy pronto
Dónde están los puntos
Así reparte el tribunal 2,5 puntos. Más de la mitad está en dos criterios: obtención de la solución del sistema para a = 1 y discusión correcta del sistema.
- 01a) Cálculo correcto del determinante de la matriz de coeficientes0,25
- 02a) Cálculo correcto de los valores críticos de a0,5
- 03a) Discusión correcta del sistema0,75
- 04b) Obtención de la solución del sistema para a = 11
Criterio general: La calificación debe hacerse en múltiplos de 0,25 puntos.
Inténtalo primero
Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.
Pista 1 · ¿Qué valores de a hay que estudiar aparte?
Calcula el determinante de la matriz de coeficientes e iguálalo a cero; para cada valor que lo anule, compara el rango de la matriz de coeficientes con el de la ampliada (teorema de Rouché-Frobenius).
Pista 2 · ¿Cómo se escribe la solución del apartado b?
En el apartado b, si el sistema no tiene solución única, llama λ a una de las incógnitas y escribe las otras dos en función de ella.
Solución paso a paso
Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.
01a · Calcula el determinante de la matriz de coeficientesTribunal: cálculo correcto del determinante de la matriz de coeficientes0,25
La matriz de coeficientes tiene filas (1, −1, 1), (a, −a + 2, 0) y (2, −(a + 3), a + 2). Desarrollando por Sarrus y agrupando, |A| = −a² + a = a(1 − a). Ojo con los signos de −(a + 3) y de −a + 2: es donde más se equivoca la gente.
02a · Iguala el determinante a ceroTribunal: cálculo correcto de los valores críticos de a0,5
a(1 − a) = 0 da a = 0 o a = 1. Para cualquier otro valor el determinante no se anula y el rango de A es 3; esos dos valores son los únicos que hay que estudiar aparte.
03a · Discute el sistema comparando rangosTribunal: discusión correcta del sistema0,75
Si a ≠ 0 y a ≠ 1, Rg(A) = Rg(A|B) = 3 = número de incógnitas: compatible determinado. Si a = 0, la matriz ampliada tiene filas (1, −1, 1 | −1), (0, 2, 0 | 2), (2, −3, 2 | −5); con f₃ − 2f₁ y luego f₃ + ½f₂ queda la fila (0, 0, 0 | −2), así que Rg(A) = 2 ≠ Rg(A|B) = 3: incompatible. Si a = 1, con f₂ − f₁ y f₃ − 2f₁ la tercera fila (0, −2, 1 | −3) es la segunda (0, 2, −1 | 3) cambiada de signo: Rg(A) = Rg(A|B) = 2 < 3, compatible indeterminado.
04b · Resuelve el sistema para a = 1 con un parámetroTribunal: obtención de la solución del sistema para a = 11
Para a = 1 quedan dos ecuaciones independientes y tres incógnitas: x − y + z = −1 y x + y = 2. Llamando y = λ, la segunda da x = 2 − λ y, sustituyendo en la primera, z = −1 − x + y = 2λ − 3. Comprueba con la tercera: 2(2 − λ) − 4λ + 3(2λ − 3) = −5, que se cumple para todo λ.
Error típico
Decidir el tipo de sistema solo con el determinante
Lo que se suele escribir: a = 1 ⇒ sistema incompatible. Lo correcto: a = 1 ⇒ compatible indeterminado
Que |A| = 0 solo dice que el sistema no es compatible determinado; no dice si es incompatible o indeterminado. Muchos alumnos ponen «incompatible» en los dos valores críticos y pierden la discusión de a = 1, donde la tercera ecuación es combinación de las otras dos. Para cada valor crítico, escalona la matriz ampliada y compara Rg(A) con Rg(A|B): si coinciden y son menores que 3, es compatible indeterminado.
Cuesta los puntos de «discusión correcta del sistema»: 0,75 puntos de 2,5.
Márcate con los criterios del tribunal
Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.
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Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?
2,5 puntos de 10. En la pregunta 2 eliges una de dos opciones: la 2.2 o la 2.1.
¿La solución es oficial?
No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.
¿Esta pregunta salió en la PAU?
No. Es del modelo de examen 2025 que publican las universidades para preparar la prueba: es un modelo, no una convocatoria celebrada.
¿Dónde está el enunciado original?
En el PDF oficial (ucm.es): el enunciado en la página 1 y los criterios de corrección en la página 4.
Fuente
Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 · Modelo orientativo · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UCM. Publicado en ucm.es, consultado el 19 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.