PAU Madrid 2025 · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · Modelo, no convocatoria celebrada
Pregunta 3.1: reciclaje: número esperado y aproximación normal de la binomial
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- a)180 personas: X ~ B(600; 0,7) tiene E(X) = 600 · 0,7 = 420 comprometidas, y 600 − 420 = 180 no lo están.
- b)P(408 ≤ X ≤ 432) ≈ 0,733: con N(420; √126 ≈ 11,225) y corrección por continuidad, P(407,5 < Y < 432,5) = P(−1,11 < Z < 1,11).
Pregunta 3.1
Una comunidad autónoma española quiere evaluar el nivel de compromiso con el reciclaje de sus ciudadanos y ciudadanas. Para ello, se realiza un estudio en dos municipios seleccionados al azar. En el primer municipio, la proporción de personas comprometidas con el reciclaje es de p = 0,7. Se toma una muestra aleatoria simple de 600 personas de dicho municipio.
- a)Determine el número esperado de personas en la muestra elegida que no estarán comprometidas con prácticas de reciclaje. (1 p)
- b)Mediante la aproximación por una normal, calcule la probabilidad de que el número de personas comprometidas con el reciclaje esté entre 408 y 432, ambos inclusive. (1,5 p)
Con el examen se entrega: Tabla de la distribución normal N(0; 1).
Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 · Modelo orientativo · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UCM. Solución verificada con sus criterios.
Examen oficial en PDF (ucm.es)Corregir con foto abre muy pronto
Dónde están los puntos
Así reparte el tribunal 2,5 puntos. Más de la mitad está en dos criterios: aproximación correcta y justificada a la distribución normal y cálculo correcto de la probabilidad pedida.
- 01a) Determinación de la distribución y sus parámetros0,25
- 02a) Cálculo de la esperanza de la distribución0,25
- 03a) Determinación correcta del número esperado de personas no comprometidas0,5
- 04b) Aproximación correcta y justificada a la distribución normal0,75
- 05b) Cálculo correcto de la probabilidad pedida0,75
Criterio general: La calificación debe hacerse en múltiplos de 0,25 puntos.
Inténtalo primero
Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.
Pista 1 · ¿Qué distribución sigue el número de personas?
Define la variable que cuenta las personas comprometidas en la muestra, reconoce su distribución y recuerda que el apartado a pregunta por las que no lo están.
Pista 2 · ¿Qué pasa con los extremos incluidos?
En el apartado b, antes de tipificar comprueba las condiciones de la aproximación y ten en cuenta que los extremos están incluidos: pasas de una variable discreta a una continua.
Solución paso a paso
Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.
01a · Identifica la binomial y sus parámetrosTribunal: determinación de la distribución y sus parámetros0,25
Cada persona de la muestra está comprometida o no, con probabilidad 0,7, y las 600 elecciones son independientes. Por eso X = «número de personas comprometidas en la muestra» sigue una binomial B(600; 0,7). Escríbelo explícitamente: es lo que puntúa.
02a · Calcula la esperanza de la binomialTribunal: cálculo de la esperanza de la distribución0,25
La esperanza de una binomial es n·p: E(X) = 600 · 0,7 = 420 personas comprometidas esperadas.
03a · Pasa al número de personas no comprometidasTribunal: determinación correcta del número esperado de personas no comprometidas0,5
Lo que pide el enunciado son las NO comprometidas: 600 − 420 = 180 personas. Es lo mismo que n·q = 600 · 0,3 = 180, que sirve de comprobación.
04b · Justifica la aproximación normal y sus parámetrosTribunal: aproximación correcta y justificada a la distribución normal0,75
Con n = 600 ≥ 30, n·p = 420 ≥ 5 y n·q = 180 ≥ 5, la binomial se puede aproximar por una normal de media μ = n·p = 420 y desviación típica σ = √(n·p·q) = √(600 · 0,7 · 0,3) = √126 ≈ 11,225. Escribe estas comprobaciones y los parámetros de la normal para justificar la aproximación.
05b · Calcula la probabilidad con corrección por continuidadTribunal: cálculo correcto de la probabilidad pedida0,75
Como 408 y 432 están incluidos, se amplía medio punto por cada lado: P(408 ≤ X ≤ 432) ≈ P(407,5 < Y < 432,5). Tipificando, (407,5 − 420)/11,225 ≈ −1,11 y (432,5 − 420)/11,225 ≈ 1,11. Por simetría, P(−1,11 < Z < 1,11) = 2·P(Z < 1,11) − 1 = 2 · 0,8665 − 1 = 0,733.
Error típico
Olvidar la corrección por continuidad
Lo que se suele escribir: P(408 < Y < 432). Lo correcto: P(407,5 < Y < 432,5)
Al pasar de la binomial (discreta) a la normal (continua), el intervalo 408 ≤ X ≤ 432 tiene que ampliarse medio punto por cada lado para incluir los dos extremos. Si tipificas directamente 408 y 432, sale z ≈ ±1,07 y una probabilidad de 0,715 en lugar de 0,733, y pierdes parte de la puntuación del cálculo. Antes de tipificar, escribe siempre el intervalo corregido con 407,5 y 432,5.
Cuesta los puntos de «cálculo correcto de la probabilidad pedida»: 0,75 puntos de 2,5.
Márcate con los criterios del tribunal
Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.
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Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?
2,5 puntos de 10. En la pregunta 3 eliges una de dos opciones: la 3.1 o la 3.2.
¿La solución es oficial?
No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.
¿Esta pregunta salió en la PAU?
No. Es del modelo de examen 2025 que publican las universidades para preparar la prueba: es un modelo, no una convocatoria celebrada.
¿Dónde está el enunciado original?
En el PDF oficial (ucm.es): el enunciado en la página 2 y los criterios de corrección en la página 4.
Fuente
Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 · Modelo orientativo · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UCM. Publicado en ucm.es, consultado el 19 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.