PAU Madrid 2025 · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · Modelo, no convocatoria celebrada
Pregunta 2.1: ecuación matricial con inversa y potencia de A a partir de A² = A + 2I
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- a)D = (3/2 0; −3/2 3): se despeja Dᵗ = 2I − A⁻¹, con A⁻¹ = (1/2 3/2; 0 −1), y se traspone.
- b)A⁴ = (16 15; 0 1): A⁴ = (A + 2I)² = A² + 4A + 4I = 5A + 6I.
Pregunta 2.1
Se consideran las matrices A y B. A se muestra en la tabla siguiente. La matriz B tiene, en este orden, las filas (1, −100) y (−1, 1).
- a)Calcule la matriz D tal que B(Dᵗ + A⁻¹)B⁻¹ = 2I, donde I es la matriz identidad de tamaño 2 × 2. (1,25 p)
- b)La matriz A verifica la igualdad A² = A + 2I. Calcule A⁴. (1,25 p)
Con el examen se entrega: Tabla de la distribución normal N(0; 1).
Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 · Modelo orientativo · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UCM. Solución verificada con sus criterios.
Examen oficial en PDF (ucm.es)Corregir con foto abre muy pronto
Dónde están los puntos
Así reparte el tribunal 2,5 puntos. Más de la mitad está en dos criterios: cálculo correcto de A⁴ y cálculo correcto de D.
- 01a) Cálculo correcto de A⁻¹0,5
- 02a) Cálculo correcto de D0,75
- 03b) Cálculo correcto de A⁴1,25
Criterio general: La calificación debe hacerse en múltiplos de 0,25 puntos.
Inténtalo primero
Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.
Pista 1 · ¿Cómo se quitan B y B⁻¹ de la ecuación?
Antes de operar con números, despeja la incógnita: multiplica la ecuación por la inversa adecuada en cada lado, respetando el orden, y fíjate en qué hace B con 2I.
Pista 2 · ¿Cómo aprovechar la igualdad que te dan?
Para A⁴ no hace falta multiplicar A cuatro veces: escribe A⁴ en función de A² y aprovecha la igualdad que te dan.
Solución paso a paso
Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.
01a · Calcula la inversa de ATribunal: cálculo correcto de A⁻¹0,5
|A| = 2·(−1) − 3·0 = −2 ≠ 0, así que A tiene inversa. Para una 2×2, A⁻¹ = (1/|A|)·adj(A)ᵗ: se intercambian los elementos de la diagonal, se cambia el signo de los otros dos y se divide entre −2. Sale A⁻¹ = (1/2 3/2; 0 −1); comprueba que A·A⁻¹ = I.
02a · Despeja Dᵗ en la ecuación y traspónTribunal: cálculo correcto de D0,75
|B| = 1 − 100 = −99 ≠ 0, así que B⁻¹ existe. Multiplica por B⁻¹ a la izquierda y por B a la derecha: Dᵗ + A⁻¹ = B⁻¹·2I·B = 2B⁻¹B = 2I, porque 2I conmuta con cualquier matriz. Entonces Dᵗ = 2I − A⁻¹ = (3/2 −3/2; 0 3), y D es su traspuesta: D = (3/2 0; −3/2 3).
03b · Usa A² = A + 2I para reducir A⁴Tribunal: cálculo correcto de A⁴1,25
Escribe A⁴ = A²·A² = (A + 2I)². Como A e I conmutan, se desarrolla como un cuadrado: A² + 4A + 4I. Vuelve a sustituir A² = A + 2I y queda A⁴ = 5A + 6I = (16 15; 0 1). Puedes comprobarlo multiplicando A² = (4 3; 0 1) por sí misma.
Error típico
Olvidar trasponer al final: dar Dᵗ como si fuera D
Lo que se suele escribir: D = (3/2 −3/2; 0 3). Lo correcto: D = (3/2 0; −3/2 3)
Despejar Dᵗ = 2I − A⁻¹ y dar esa matriz como D. La incógnita aparece traspuesta en la ecuación, así que lo que sale al despejar es Dᵗ; falta un último paso, trasponer, y sin él la matriz D es incorrecta y se pierden los 0,75 puntos de D. Cuando la incógnita lleva una t, escribe «Dᵗ = …» al despejar para no olvidar que aún no has terminado.
Cuesta los puntos de «cálculo correcto de D»: 0,75 puntos de 2,5.
Márcate con los criterios del tribunal
Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.
¿Hay un error en este ejercicio?Avísanos
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Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?
2,5 puntos de 10. En la pregunta 2 eliges una de dos opciones: la 2.1 o la 2.2.
¿La solución es oficial?
No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.
¿Esta pregunta salió en la PAU?
No. Es del modelo de examen 2025 que publican las universidades para preparar la prueba: es un modelo, no una convocatoria celebrada.
¿Dónde está el enunciado original?
En el PDF oficial (ucm.es): el enunciado en la página 1 y los criterios de corrección en la página 4.
Fuente
Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 · Modelo orientativo · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UCM. Publicado en ucm.es, consultado el 19 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.