PAU Madrid 2025 · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · Modelo, no convocatoria celebrada
Pregunta 1: suero HidroBio: cantidad de principio activo, crecimiento y sabor más intenso
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- a)0,5 mg = F(1), con F(t) = 3t²/4 − t³/4, primitiva de c(t) y F(0) = 0.
- b)no: crece en (0, 2) y decrece en (2, 3), donde c(t) < 0.
- c)a las 2 horas, con 1 mg: F es máxima en t = 2 y F(2) = 1.
Pregunta 1
HidroBio es una marca de un preparado en polvo para elaborar suero bebible que se utiliza para rehidratar a pacientes con gastroenteritis. El suero se prepara disolviendo un sobre de HidroBio en un litro de agua. La marca comercializa tres tipos de sobres, de sabor a naranja, fresa o limón. El contenido de cada sobre reacciona químicamente con el agua produciéndose en esa reacción un determinado principio activo, en cantidad variable en función del tiempo, de manera que la tasa de variación instantánea de la cantidad de principio activo, medida en mg/hora, viene dada por la función c(t) = (3/2)·(t − t²/2), siendo t el tiempo transcurrido, en horas, desde la elaboración del preparado hasta pasadas tres horas. La cantidad de principio activo presente en la disolución potencia además el sabor del preparado, de forma que a más cantidad de principio más intenso es el sabor.
- a)Indique la cantidad de principio activo al cabo de 60 minutos de haber sido preparado el suero. (1 p)
- b)¿Va aumentando la cantidad de principio activo a lo largo de las 3 primeras horas? ¿Por qué? (0,75 p)
- c)Se ha observado que para conseguir que los menores de 5 años ingieran el suero más fácilmente, lo mejor es disolver un sobre con sabor a fresa y darles el primer vaso en el momento en que el sabor de la disolución sea más intenso. ¿Cuándo le daría el primer vaso de suero a una niña de 4 años? Determine cuál será la cantidad de principio activo en el litro de suero en ese momento. (0,75 p)
Con el examen se entrega: Tabla de la distribución normal N(0; 1).
Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 · Modelo orientativo · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UCM. Solución verificada con sus criterios.
Examen oficial en PDF (ucm.es)Corregir con foto abre muy pronto
Dónde están los puntos
Así reparte el tribunal 2,5 puntos.
- 01a) Cálculo correcto de la primitiva de c(t)0,5
- 02a) Cálculo correcto de F(t), la cantidad de principio activo en función del tiempo0,25
- 03a) Cálculo correcto de F(1), la cantidad al cabo de 60 minutos0,25
- 04b) Cálculo correcto de los intervalos de crecimiento y decrecimiento0,5
- 05b) Justificación correcta del aumento en las dos primeras horas0,25
- 06c) Cálculo correcto del valor t = 2, el instante de sabor más intenso0,5
- 07c) Cálculo correcto de F(2), la cantidad de principio activo en ese momento0,25
Criterio general: La calificación debe hacerse en múltiplos de 0,25 puntos.
Inténtalo primero
Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.
Pista 1 · ¿Qué representa c(t)?
c(t) no es la cantidad de principio activo sino la velocidad a la que cambia: la cantidad sale de integrar, y necesitas un dato del enunciado para fijar la constante.
Pista 2 · ¿Qué función hay que estudiar en b) y c)?
Crecer o decrecer depende del signo de la derivada de la cantidad, y el sabor más intenso corresponde al valor más alto de la cantidad, no al de su tasa.
Solución paso a paso
Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.
01a · Integra la tasa c(t) para obtener una primitivaTribunal: cálculo correcto de la primitiva de c(t)0,5
c(t) es la tasa de variación instantánea de la cantidad, es decir, su derivada: la cantidad es una primitiva de c(t). Desarrolla primero c(t) = 3t/2 − 3t²/4 e integra término a término con la regla de la potencia: ∫ c(t) dt = 3t²/4 − t³/4 + k. Comprueba derivando: (3t²/4 − t³/4)′ = 3t/2 − 3t²/4 = c(t).
02a · Fija la constante con la cantidad inicialTribunal: cálculo correcto de F(t), la cantidad de principio activo en función del tiempo0,25
Al preparar el suero (t = 0) todavía no se ha producido principio activo, así que F(0) = 0. Sustituyendo, 0 = 0 − 0 + k, luego k = 0 y la cantidad en función del tiempo es F(t) = 3t²/4 − t³/4, en mg, para t entre 0 y 3 horas.
03a · Evalúa F en t = 1 horaTribunal: cálculo correcto de F(1), la cantidad al cabo de 60 minutos0,25
El tiempo va en horas, así que 60 minutos es t = 1. F(1) = 3/4 − 1/4 = 1/2: al cabo de una hora hay 0,5 mg de principio activo en el litro de suero.
04b · Estudia el signo de F′(t) = c(t) en (0, 3)Tribunal: cálculo correcto de los intervalos de crecimiento y decrecimiento0,5
La derivada de F es c(t) = (3/2)·t·(1 − t/2), que se anula en t = 0 y en t = 2. Toma un valor de prueba en cada tramo: c(1) = 3/4 > 0 y c(2,5) = −15/16 < 0. Por tanto F crece en (0, 2) y decrece en (2, 3).
05b · Responde a la pregunta y di por quéTribunal: justificación correcta del aumento en las dos primeras horas0,25
No aumenta durante las tres horas: solo en las dos primeras, porque ahí la tasa c(t) es positiva. A partir de t = 2 la tasa es negativa y la cantidad baja; de hecho, F(3) = 27/4 − 27/4 = 0, así que a las tres horas vuelve a no quedar principio activo.
06c · Localiza el instante de sabor más intensoTribunal: cálculo correcto del valor t = 2, el instante de sabor más intenso0,5
A más principio activo, más intenso el sabor: hay que buscar el máximo de F(t), no el de c(t). Por el apartado b), F crece hasta t = 2 y decrece después, así que en t = 2 alcanza su máximo en [0, 3]; también lo confirma F″(2) = c′(2) = −3/2 < 0. El primer vaso se le da a la niña a las 2 horas de preparar el suero.
07c · Calcula la cantidad en ese momentoTribunal: cálculo correcto de F(2), la cantidad de principio activo en ese momento0,25
Sustituye en la función del apartado a): F(2) = 3·4/4 − 8/4 = 3 − 2 = 1. En el momento del primer vaso hay 1 mg de principio activo en el litro de suero.
Error típico
Confundir la tasa c(t) con la cantidad de principio activo
Lo que se suele escribir: cantidad = c(1) = 0,75 mg. Lo correcto: cantidad = F(1) = 0,5 mg
Tomar c(t) como si fuera la cantidad y responder con c(1) = 0,75 mg. c(t) mide cuántos mg por hora se producen en cada instante, no cuántos hay: la cantidad es su primitiva, y sin integrar se pierden los 0,5 puntos de la primitiva y los de F(t) y F(1). La misma confusión lleva en c) a maximizar c(t), que da t = 1, en lugar de F(t). Antes de calcular, pregúntate si te piden la tasa o la cantidad.
Cuesta los puntos de «cálculo correcto de la primitiva de c(t)»: 0,5 puntos de 2,5.
Márcate con los criterios del tribunal
Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.
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Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?
2,5 puntos de 10. Es obligatoria: la hace todo el mundo.
¿La solución es oficial?
No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.
¿Esta pregunta salió en la PAU?
No. Es del modelo de examen 2025 que publican las universidades para preparar la prueba: es un modelo, no una convocatoria celebrada.
¿Dónde está el enunciado original?
En el PDF oficial (ucm.es): el enunciado en la página 1 y los criterios de corrección en la página 4.
Fuente
Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 · Modelo orientativo · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UCM. Publicado en ucm.es, consultado el 19 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.