PAU Madrid 2025 · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · Modelo, no convocatoria celebrada

Pregunta 3.2: reciclaje: intervalo de confianza para una proporción y tamaño de la muestra

Tema · Inferencia estadística
Opcional · 3.2 o 3.1
Solución verificada

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a)IC 90 % = (0,7479; 0,8121): p̂ = 0,78, z_(α/2) = 1,645 y E ≈ 0,0321, y el intervalo es p̂ ± E.
b)n = 683 personas: con z_(α/2) = 1,96, n ≥ 1,96² · 0,8 · 0,2/0,03² ≈ 682,95, y se redondea hacia arriba.

Pregunta 3.2

PAU Madrid modelo 2025Estadística2,5 puntos

Una comunidad autónoma española quiere evaluar el nivel de compromiso con el reciclaje de sus ciudadanos y ciudadanas. Para ello, se realiza un estudio en dos municipios seleccionados al azar. En el segundo municipio:

a)Se tomó una muestra aleatoria simple de 450 personas de las cuales 351 se declaran comprometidas con prácticas de reciclaje. Obtenga un intervalo de confianza del 90 % para la proporción de personas del segundo municipio comprometidas con prácticas de reciclaje. (1,25 p)
b)Asumiendo que la proporción poblacional de los comprometidos con el reciclaje en este segundo municipio es p = 0,8, determine el tamaño mínimo necesario de una muestra de personas para garantizar, con un nivel de confianza del 95 %, que el margen de error en la estimación no supere el 3 % (±3 %). (1,25 p)

Con el examen se entrega: Tabla de la distribución normal N(0; 1).

Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 · Modelo orientativo · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UCM. Solución verificada con sus criterios.

Examen oficial en PDF (ucm.es)

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Dónde están los puntos

Así reparte el tribunal 2,5 puntos.

Los criterios, a escala2,5puntos

Criterios oficialesPuntos

01a) Determinación de la proporción muestral0,25
02a) Determinación del valor z_(α/2)0,25
03a) Aplicación de la fórmula del error y obtención del mismo0,25
04a) Determinación correcta del intervalo de confianza0,5
05b) Determinación del valor crítico z_(α/2)0,25
06b) Planteamiento con la aplicación de la fórmula del error0,25
07b) Cálculo correcto del tamaño mínimo de la muestra0,75

Criterio general: La calificación debe hacerse en múltiplos de 0,25 puntos.

Inténtalo primero

Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.

Pista 1 · ¿Qué piezas forman el intervalo?

Para el intervalo necesitas tres piezas: la proporción de la muestra, el valor crítico de la normal estándar para ese nivel de confianza y el error máximo.

Pista 2 · ¿Qué incógnita despejas en el apartado b?

En el apartado b, escribe la fórmula del error con la proporción que te da el enunciado, exige que no supere el margen pedido y despeja el tamaño de la muestra.

Solución paso a paso

Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.

01a · Calcula la proporción muestralTribunal: determinación de la proporción muestral0,25
De las 450 personas de la muestra, 351 se declaran comprometidas con el reciclaje, así que la proporción muestral es p̂ = 351/450 = 0,78. Su complementaria, 1 − p̂ = 0,22, la necesitas para el error.
Tribunal
Determinación de la proporción: 0,25 puntos.
0,25de 2,5
02a · Busca el valor crítico z_(α/2) del 90 %Tribunal: determinación del valor z_(α/2)0,25
Con una confianza del 90 %, α = 0,1 y α/2 = 0,05, así que buscas en la tabla el z con P(Z ≤ z) = 0,95. Queda justo entre 0,9495 (z = 1,64) y 0,9505 (z = 1,65), y se toma el punto medio: z_(α/2) = 1,645.
Tribunal
Determinación del valor z_(α/2): 0,25 puntos.
0,25de 2,5
03a · Aplica la fórmula del error y calcúlaloTribunal: aplicación de la fórmula del error y obtención del mismo0,25
Para una proporción, el error máximo es E = z_(α/2) · √(p̂(1 − p̂)/n). Sustituyendo, E = 1,645 · √(0,78 · 0,22/450) = 1,645 · 0,01953 ≈ 0,0321.
$E = z_{α / 2} \sqrt{\frac{\hat{p} (1 - \hat{p})}{n}} = 1,645 \sqrt{\frac{0,78 \cdot 0,22}{450}} \approx 0,0321$
Tribunal
Aplicación de la fórmula del error y obtención del mismo: 0,25 puntos.
0,25de 2,5
04a · Construye el intervalo de confianzaTribunal: determinación correcta del intervalo de confianza0,5
El intervalo está centrado en la proporción muestral: (p̂ − E; p̂ + E) = (0,78 − 0,0321; 0,78 + 0,0321) = (0,7479; 0,8121). Interprétalo: con una confianza del 90 %, entre el 74,8 % y el 81,2 % de las personas del segundo municipio están comprometidas con el reciclaje.
$I C_{90 %} = (0,78 - 0,0321; 0,78 + 0,0321) = (0,7479; 0,8121)$
Tribunal
Determinación correcta del intervalo de confianza: 0,50 puntos.
0,5de 2,5
05b · Busca el valor crítico z_(α/2) del 95 %Tribunal: determinación del valor crítico z_(α/2)0,25
Ahora la confianza es del 95 %: α = 0,05 y α/2 = 0,025, así que buscas el z con P(Z ≤ z) = 0,975. La tabla da exactamente z_(α/2) = 1,96.
Tribunal
Determinación del valor crítico z_(α/2): 0,25 puntos.
0,25de 2,5
06b · Plantea la condición sobre el errorTribunal: planteamiento con la aplicación de la fórmula del error0,25
El enunciado fija la proporción poblacional, p = 0,8, así que la usas en la fórmula del error en lugar de la proporción muestral del apartado a. Un margen de error del 3 % es E = 0,03, y se exige que no lo supere: 1,96 · √(0,8 · 0,2/n) ≤ 0,03.
$1,96 \sqrt{\frac{0,8 \cdot 0,2}{n}} \leq 0,03$
Tribunal
Planteamiento con la aplicación de la fórmula del error: 0,25 puntos.
0,25de 2,5
07b · Despeja n y redondea hacia arribaTribunal: cálculo correcto del tamaño mínimo de la muestra0,75
Elevando al cuadrado y despejando, n ≥ 1,96² · 0,8 · 0,2/0,03² = 0,614656/0,0009 ≈ 682,95. Como n tiene que ser entero y la desigualdad pide como mínimo ese valor, se redondea siempre hacia arriba: hacen falta n = 683 personas. Con 682 el error superaría ligeramente el 3 %.
$n \geq \frac{{1,96}^{2} \cdot 0,8 \cdot 0,2}{{0,03}^{2}} \approx 682,95 \Rightarrow n = 683$
Tribunal
Cálculo correcto del tamaño mínimo de la muestra: 0,75 puntos.
0,75de 2,5

Error típico

Redondear el tamaño de la muestra hacia abajo

Lo que se suele escribir: ~~n = 682~~. Lo correcto: n = 683

Al despejar n sale un número decimal, 682,95, y muchos alumnos lo truncan o lo redondean hacia abajo. Con 682 personas el error pasaría del 3 %, así que no cumple lo que pide el enunciado y se pierden puntos del cálculo final. El tamaño mínimo se redondea siempre hacia arriba, aunque el decimal sea pequeño: n = 683.

Cuesta los puntos de «cálculo correcto del tamaño mínimo de la muestra»: 0,75 puntos de 2,5.

Márcate con los criterios del tribunal

Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.

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Preguntas frecuentes

¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?

2,5 puntos de 10. En la pregunta 3 eliges una de dos opciones: la 3.2 o la 3.1.

¿La solución es oficial?

No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.

¿Esta pregunta salió en la PAU?

No. Es del modelo de examen 2025 que publican las universidades para preparar la prueba: es un modelo, no una convocatoria celebrada.

¿Dónde está el enunciado original?

En el PDF oficial (ucm.es): el enunciado en la página 2 y los criterios de corrección en la página 5.

Fuente

Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 · Modelo orientativo · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UCM. Publicado en ucm.es, consultado el 19 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.