PAU Madrid 2025 · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · Ordinaria

Pregunta 3.1: jabón artesano: tamaño de la muestra para una proporción y aproximación normal de la binomial

Tema · Probabilidad
Concepto · Distribución binomial
Opcional · 3.1 o 3.2
Solución verificada

En breveOcultar para practicarMostrar el resultado

a)n = 139 pastillas: con z_(α/2) = 1,96 y p = 0,9, la condición 1,96·√(0,9·0,1/n) < 0,05 da n > 138,3.
b)P(X ≥ 120) ≈ 0,9664, con X las que superan el control, X ~ B(140; 0,9), aproximada por N(126; √12,6 ≈ 3,55); con la corrección por continuidad queda P(Z ≥ −1,83), con Z la normal tipificada.

Pregunta 3.1

PAU Madrid 2025 · OrdinariaEstadística2,5 puntos

Para poder participar en el concurso «Mejor Jabón Artesano del año» es necesario pasar un control de calidad muy exigente. Un maestro jabonero sabe que el 90 % de sus pastillas de jabón hechas a mano pasarían sin problemas este control de calidad.

a)La empresa organizadora del concurso elegirá en el taller de cada participante una muestra aleatoria simple de pastillas de jabón para obtener una estimación de la proporción de ellas que superan el control de calidad. Suponiendo cierta la creencia del maestro jabonero sobre la calidad de sus pastillas, determine el tamaño mínimo necesario de la muestra de pastillas de jabón que la empresa organizadora debe tomar en el taller de este artesano para garantizar, con un nivel de confianza del 95 %, que el margen de error en la estimación sea inferior al 5 %. (1 p)
b)Si finalmente la organización decide seleccionar una muestra aleatoria simple de 140 pastillas de jabón de este artesano, calcule, aproximando por la distribución normal adecuada, la probabilidad de que al menos 120 pastillas de jabón superen el control de calidad. (1,5 p)

Con el examen se entrega: Tabla de la distribución normal N(0; 1).

Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 · Ordinaria · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UCM. Solución verificada con sus criterios.

Examen oficial en PDF (ucm.es)

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Dónde están los puntos

Así reparte el tribunal 2,5 puntos. Más de la mitad está en dos criterios: aproximación correcta y justificada a la distribución normal y cálculo correcto de la probabilidad pedida.

Los criterios, a escala2,5puntos

Criterios oficialesPuntos

01a) Determinación del valor crítico z_(α/2)0,25
02a) Planteamiento con la aplicación de la fórmula del error0,25
03a) Cálculo correcto del tamaño mínimo de la muestra0,5
04b) Aproximación correcta y justificada a la distribución normal0,75
05b) Cálculo correcto de la probabilidad pedida0,75

Criterio general: La calificación debe hacerse en múltiplos de 0,25 puntos.

Inténtalo primero

Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.

Pista 1 · ¿Qué proporción va en la fórmula del error?

En a), la creencia del maestro te da la proporción que va en la fórmula del error; despeja n y piensa cómo redondear un tamaño de muestra.

Pista 2 · ¿Qué distribución sigue el número de pastillas?

En b), el número de pastillas que superan el control sigue una binomial: comprueba que puedes aproximarla por una normal y no olvides la corrección por continuidad.

Solución paso a paso

Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.

01a · Busca el valor crítico para el 95 %Tribunal: determinación del valor crítico z_(α/2)0,25
Con 1 − α = 0,95, α = 0,05 y α/2 = 0,025. Buscas z con P(Z ≤ z) = 1 − 0,025 = 0,975, y en la tabla Φ(1,96) = 0,9750, así que z_(α/2) = 1,96.
$1 - α = 0,95 \Rightarrow \frac{α}{2} = 0,025 \Rightarrow P (Z \leq z_{α / 2}) = 0,975 \Rightarrow z_{α / 2} = 1,96$
Tribunal
Determinación del valor crítico z_(α/2): 0,25 puntos.
0,25de 2,5
02a · Plantea la condición sobre el errorTribunal: planteamiento con la aplicación de la fórmula del error0,25
Para una proporción, el error es E = z_(α/2)·√(p(1 − p)/n). El enunciado te pide suponer cierta la creencia del maestro, así que usas p = 0,9 y 1 − p = 0,1. La condición es que el error sea inferior al 5 %: 1,96·√(0,9·0,1/n) < 0,05.
$E = z_{α / 2} \sqrt{\frac{p (1 - p)}{n}} = 1,96 \sqrt{\frac{0,9 \cdot 0,1}{n}} < 0,05$
Tribunal
Planteamiento con la aplicación de la fórmula del error: 0,25 puntos.
0,25de 2,5
03a · Despeja n y redondea hacia arribaTribunal: cálculo correcto del tamaño mínimo de la muestra0,5
Elevando al cuadrado y despejando, n > 1,96²·0,09/0,05² = 0,345744/0,0025 = 138,2976. El tamaño es un número entero mayor que 138,2976, así que el mínimo es n = 139 pastillas. Comprobación: con n = 138 el error sería ≈ 0,05005, por encima de 0,05; con n = 139 es ≈ 0,04987.
$n > \frac{{1,96}^{2} \cdot 0,9 \cdot 0,1}{{0,05}^{2}} = 138,2976 \Rightarrow n = 139$
Tribunal
Cálculo correcto del tamaño mínimo de la muestra: 0,50 puntos.
0,5de 2,5
04b · Define la binomial y justifica la normalTribunal: aproximación correcta y justificada a la distribución normal0,75
X = «número de pastillas, de las 140 de la muestra, que superan el control». Cada pastilla lo supera o no, con probabilidad 0,9, y unas no influyen en otras: X ~ B(140; 0,9). Como np = 140·0,9 = 126 ≥ 5 y n(1 − p) = 140·0,1 = 14 ≥ 5, la aproximas por una normal Y con la misma media y desviación típica: μ = 126 y σ = √(140·0,9·0,1) = √12,6 ≈ 3,55, es decir, Y ~ N(126; 3,55).
$μ = n p = 126, σ = \sqrt{n p (1 - p)} = \sqrt{140 \cdot 0,9 \cdot 0,1} = \sqrt{12,6} \approx 3,55$
Tribunal
Aproximación correcta y justificada a la distribución normal: 0,75 puntos.
0,75de 2,5
05b · Corrige por continuidad y calcula la probabilidadTribunal: cálculo correcto de la probabilidad pedida0,75
X es discreta y la normal es continua: el valor 120 ocupa el tramo de 119,5 a 120,5. «Al menos 120» incluye el 120, así que empiezas en 119,5: P(X ≥ 120) ≈ P(Y ≥ 119,5). Tipificando, P(Z ≥ (119,5 − 126)/3,55) = P(Z ≥ −1,83), y por simetría es P(Z ≤ 1,83) = 0,9664. Como referencia, la binomial exacta da 0,9608.
$P (X \geq 120) \approx P (Y \geq 119,5) = P (Z \geq \frac{119,5 - 126}{3,55}) = P (Z \geq - 1,83) = P (Z \leq 1,83) = 0,9664$
Tribunal
Cálculo correcto de la probabilidad pedida: 0,75 puntos.
0,75de 2,5

Error típico

Corregir por continuidad hacia el lado equivocado

Lo que se suele escribir: ~~P(X ≥ 120) ≈ P(Y ≥ 120,5)~~. Lo correcto: P(X ≥ 120) ≈ P(Y ≥ 119,5)

«Al menos 120» incluye el 120, que en la normal ocupa el tramo de 119,5 a 120,5: hay que empezar en 119,5. Si empiezas en 120,5 dejas fuera el propio 120 y sale P(Z ≥ −1,55) ≈ 0,9394; sin corrección, P(Z ≥ −1,69) ≈ 0,9545. Los dos fallos cuestan puntos del cálculo de la probabilidad. En a), no redondees n hacia abajo: con 138 pastillas el error supera el 5 %.

Cuesta los puntos de «cálculo correcto de la probabilidad pedida»: 0,75 puntos de 2,5.

Márcate con los criterios del tribunal

Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.

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Preguntas frecuentes

¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?

2,5 puntos de 10. En la pregunta 3 eliges una de dos opciones: la 3.1 o la 3.2.

¿La solución es oficial?

No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.

¿Dónde está el enunciado original?

En el PDF oficial (ucm.es): el enunciado en la página 2 y los criterios de corrección en la página 6.

Fuente

Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 · Ordinaria · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UCM. Publicado en ucm.es, consultado el 19 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.