PAU Madrid 2025 · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · Ordinaria
Pregunta 2.2: monotonía y extremos de eˣ(−x² + 3) y una integral definida
En breveOcultar para practicarMostrar el resultado
- a)crece en (−3, 1), decrece en (−∞, −3) ∪ (1, +∞), mínimo relativo en x = −3, máximo relativo en x = 1, con f′(x) = eˣ(−x² − 2x + 3).
- b)3·ln 2 − 3/2 ≈ 0,5794: el integrando se simplifica a −x + 3/x, cuya primitiva es −x²/2 + 3·ln x, y se aplica Barrow entre 1 y 2.
Pregunta 2.2
Se considera la función real de variable real dada por la siguiente expresión: f(x) = eˣ(−x² + 3).
- a)Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función y clasifique, si procede, sus extremos relativos. (1,25 p)
- b)Halle el valor de la integral definida ∫₁² f(x)/(x·eˣ) dx. (1,25 p)
Con el examen se entrega: Tabla de la distribución normal N(0; 1).
Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 · Ordinaria · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UCM. Solución verificada con sus criterios.
Examen oficial en PDF (ucm.es)Corregir con foto abre muy pronto
Dónde están los puntos
Así reparte el tribunal 2,5 puntos.
- 01a) Cálculo correcto de la derivada0,5
- 02a) Cálculo de los intervalos de crecimiento y decrecimiento0,5
- 03a) Determinación del máximo y del mínimo0,25
- 04b) Obtención de la integral (primitiva del integrando)0,75
- 05b) Cálculo correcto del valor de la integral definida0,5
Criterio general: La calificación debe hacerse en múltiplos de 0,25 puntos.
Inténtalo primero
Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.
Pista 1 · ¿Cómo se deriva f?
En a), f es un producto de dos funciones: deriva con la regla del producto, saca factor común y recuerda que eˣ nunca es negativa.
Pista 2 · ¿Qué hacer antes de integrar?
En b), sustituye f en el cociente antes de integrar: algo se simplifica y quedan integrales inmediatas.
Solución paso a paso
Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.
01a · Deriva con la regla del productoTribunal: cálculo correcto de la derivada0,5
f es el producto de eˣ por −x² + 3, así que aplicas (u·v)′ = u′·v + u·v′ con u = eˣ y v = −x² + 3: f′(x) = eˣ(−x² + 3) + eˣ(−2x). Sacando factor común eˣ queda f′(x) = eˣ(−x² − 2x + 3).
02a · Estudia el signo de la derivadaTribunal: cálculo de los intervalos de crecimiento y decrecimiento0,5
El dominio es ℝ y eˣ > 0 para todo x, así que el signo de f′ es el de −x² − 2x + 3 = −(x + 3)(x − 1), que se anula en x = −3 y en x = 1. Con un valor de cada tramo: en x = −4 sale −5 < 0, en x = 0 sale 3 > 0 y en x = 2 sale −5 < 0. Por tanto, f crece en (−3, 1) y decrece en (−∞, −3) ∪ (1, +∞).
03a · Clasifica los extremos relativosTribunal: determinación del máximo y del mínimo0,25
En x = −3 la función pasa de decrecer a crecer: hay un mínimo relativo, de valor f(−3) = −6e⁻³ ≈ −0,2987. En x = 1 pasa de crecer a decrecer: hay un máximo relativo, de valor f(1) = 2e ≈ 5,4366.
04b · Simplifica el integrando y busca una primitivaTribunal: obtención de la integral (primitiva del integrando)0,75
Sustituye f antes de integrar: eˣ se cancela y el cociente queda (−x² + 3)/x = −x + 3/x. Las dos integrales son inmediatas: ∫(−x + 3/x) dx = −x²/2 + 3·ln|x| + C. En el intervalo [1, 2] x es positiva, así que puedes escribir ln x sin valor absoluto.
05b · Aplica la regla de BarrowTribunal: cálculo correcto del valor de la integral definida0,5
Evalúa la primitiva en los extremos y resta: (−2 + 3·ln 2) − (−1/2 + 3·ln 1). Como ln 1 = 0, la integral vale 3·ln 2 − 3/2 ≈ 2,0794 − 1,5 = 0,5794.
Error típico
Olvidar un sumando de la regla del producto
Lo que se suele escribir: f′(x) = eˣ·(−2x). Lo correcto: f′(x) = eˣ(−x² − 2x + 3)
Derivar solo el polinomio y tratar eˣ como si fuera una constante. La regla del producto tiene dos sumandos, u′·v + u·v′, y el término eˣ(−x² + 3) no puede faltar. Con la derivada incompleta sale un único punto crítico, x = 0, así que se pierden los 0,5 puntos de la derivada y, detrás, los intervalos y los extremos. Escribe los dos sumandos antes de sacar factor común eˣ.
Cuesta los puntos de «cálculo correcto de la derivada»: 0,5 puntos de 2,5.
Márcate con los criterios del tribunal
Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.
¿Hay un error en este ejercicio?Avísanos
Sigue practicando
Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?
2,5 puntos de 10. En la pregunta 2 eliges una de dos opciones: la 2.2 o la 2.1.
¿La solución es oficial?
No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.
¿Dónde está el enunciado original?
En el PDF oficial (ucm.es): el enunciado en la página 1 y los criterios de corrección en la página 6.
Fuente
Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 · Ordinaria · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UCM. Publicado en ucm.es, consultado el 19 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.