Concepto · Análisis · Matemáticas II y Matemáticas CCSS II
Integral definida y regla de Barrow: cómo se calcula un área
En breve
La regla de Barrow dice que, si f es continua en [a, b] y F es una primitiva suya, la integral definida de f entre a y b vale F(b) − F(a). Para un área se buscan los cortes de f con el eje, se integra en cada tramo y se suman los valores absolutos.
Dicho con precisión
Si f es continua en [a, b] y F es una primitiva de f en ese intervalo (F′(x) = f(x)), entonces ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a). Si además f ≥ 0 en [a, b], esa integral es el área del recinto limitado por la gráfica de f, el eje de abscisas y las rectas x = a y x = b. Si f cambia de signo, el área es la suma de los valores absolutos de las integrales en cada tramo.
Míralo en movimiento
Es la figura del ejercicio 5.1 de la ordinaria de Madrid 2026: el área bajo y = ln x entre el corte con el eje y la recta x = e, aproximada con tiras. Al doblar el número de tiras, su suma se acerca al área exacta, que la regla de Barrow da en un solo paso.
Cómo se aplica, paso a paso
Con un ejemplo, y escrito como hay que escribirlo en el examen para que puntúe.
Ejemplo
Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f(x) = x² − 1, el eje de abscisas y las rectas x = 0 y x = 2.
Comprueba la hipótesis y busca una primitiva
f(x) = x² − 1 es un polinomio, así que es continua en [0, 2] y puedes aplicar la regla de Barrow. Una primitiva es F(x) = x³/3 − x: compruébala derivando, F′(x) = x² − 1. No hace falta añadir la constante C, porque en F(b) − F(a) se cancela.
Halla los cortes con el eje dentro del intervalo
La integral cuenta con signo: donde la gráfica queda por debajo del eje, sale negativa. Por eso, antes de integrar, resuelve f(x) = 0. La ecuación x² − 1 = 0 da x = 1 y x = −1, pero solo x = 1 está en [0, 2]. Ese corte parte el recinto en dos tramos, [0, 1] y [1, 2], y cada uno se integra por separado.
Estudia el signo de f en cada tramo
Como f es continua y solo se anula en x = 1 dentro del intervalo, mantiene el mismo signo dentro de cada tramo: basta un punto de prueba. f(1/2) = −3/4 < 0, así que en (0, 1) la gráfica está por debajo del eje; f(3/2) = 5/4 > 0, así que en (1, 2) está por encima. Deja escrito este estudio del signo: es lo que justifica dónde va el valor absoluto.
Aplica la regla de Barrow en cada tramo
En [0, 1]: F(1) − F(0) = (1/3 − 1) − 0 = −2/3, negativa, como corresponde a un tramo por debajo del eje. En [1, 2]: F(2) − F(1) = (8/3 − 2) − (−2/3) = 2/3 + 2/3 = 4/3. Escribe siempre las dos evaluaciones, también la del límite inferior: aquí F(1) no es cero y olvidarla cambia el resultado.
Suma los valores absolutos y da el área en u²
El área es la suma de los valores absolutos de cada tramo: A = |−2/3| + |4/3| = 2/3 + 4/3 = 2 u². Si hubieras integrado de 0 a 2 sin partir, habrías obtenido F(2) − F(0) = 2/3: la parte de debajo del eje resta y el resultado no es el área. Termina dando el área en unidades cuadradas.
Errores típicos
Integrar de golpe sin buscar los cortes con el eje
Si la función cambia de signo, la integral de a a b no es el área: la parte negativa resta. En el ejemplo, la integral entre 0 y 2 da 2/3 y el área es 2 u². Antes de integrar, resuelve f(x) = 0, quédate con las raíces que caen dentro de [a, b] y parte el intervalo en ellas.
Poner el valor absoluto fuera de toda la integral
El valor absoluto va en cada tramo, no sobre el resultado final: |∫ₐᵇ f(x) dx| no es lo mismo que el área. En el ejemplo, |2/3| sigue siendo 2/3. Calcula la integral de cada tramo por separado, toma su valor absoluto y después suma.
Dar por hecho que F(a) vale cero
La evaluación en el límite inferior no tiene por qué ser cero: con F(x) = x³/3 − x, F(1) = −2/3. Ojo también con exponenciales y cosenos, porque e⁰ = 1 y cos 0 = 1. Escribe siempre F(b) − F(a) con los dos valores sustituidos.
Aplicar Barrow con una asíntota dentro del intervalo
La regla exige f continua en todo [a, b]. Con f(x) = 1/x² en [−1, 1], que no está definida en x = 0, la cuenta F(1) − F(−1) = −1 − 1 = −2 con F(x) = −1/x da un número negativo para una función positiva: es falso. Comprueba la continuidad antes de sustituir.
Ejercicios reales de la PAU
20 ejercicios resueltos de la PAU que lo usan, con el enunciado oficial, los criterios del tribunal y la solución paso a paso.
- Madrid 2026 · Ordinaria · 2.12,5 puntosConsidere la función real de variable real f(x) = x(1 − x²) + e^(−λx), donde λ es un parámetro real sin especificar.
- Madrid 2026 · Ordinaria · 5.12 puntosSea f(x) = ln(x). Halle el área de la región acotada por la gráfica de f(x), el eje de abscisas y la recta x = e.
- Madrid 2026 · Ordinaria · incidencias · 3.12,5 puntosConsideremos la función f(x) = e²ˣ⁺³ si x ≤ 1; f(x) = (x² + 5x + 2)/(2x + 3) si x > 1.
- Madrid 2026 · Ordinaria · incidencias · 22 puntosDada la función real de variable real f(x) = |x² − 6x + 5|, se pide:
- Madrid 2026 · Extraordinaria · 4.22,5 puntosConsidere la función real de variable real: f(x) = x³ + 3x² + ax + b.
- Madrid 2026 · Extraordinaria · 22 puntosUn diseñador gráfico propone una bandera usando los colores verde, blanco y rojo. Para ello considera un rectángulo de base 8 y altura 2, toma como origen de coordenadas el extremo inferior izquierdo del rectángulo y los lados izquierdo e inferior están sobre los ejes coordenados OY e OX, respectivamente. En el rectángulo descrito traza la curva de ecuación y = 2 − ∛x que va del vértice superior izquierdo del rectángulo al vértice inferior derecho. El diseñador quiere que la parte del rectángulo que queda por encima de la curva dada sea blanca. Para la parte que queda por debajo de la curva, toma un nuevo rectángulo con el vértice inferior izquierdo en el origen de coordenadas y el superior derecho en la curva. Ese rectángulo sería verde y lo que queda sería rojo. Calcule el área que ocupa cada color en esta bandera si el diseñador quiere que el área roja sea la menor posible.
- Madrid 2026 · Extraordinaria · 5.22 puntosHalle el valor real a tal que ∫₀^(π/3) (x − a) sen(3x) dx = 2π/9.
- Madrid 2026 · Extraordinaria · incidencias · 22 puntosLa potencia instantánea en el momento t, P(t), es la derivada de la energía producida hasta el momento t. Una instalación fotovoltaica doméstica en un día despejado genera una potencia en kilowatios (kW) que se modeliza por la siguiente función con respecto a la hora del día t ∈ [0, 24): P(t) = 0 si 0 ≤ t < 8; P(t) = 3 + 3 sen((π/8)(t − 12)) si 8 ≤ t ≤ 20; P(t) = 0 si 20 < t < 24.
- Madrid 2026 · Extraordinaria · incidencias · 5.22 puntosPara la función f(x) = sen(π|x² − 1|), calcule ∫₀² x f(x) dx.
- Madrid 2025 · Ordinaria · 2.22,5 puntosSe considera la función real de variable real dada por la siguiente expresión: f(x) = eˣ(−x² + 3).
- Madrid 2025 · Ordinaria · 22,5 puntosUn muro rectangular de la biblioteca pública del barrio se va a pintar con la ayuda de unos grafiteros. La dimensión del muro es de 3 metros de alto y 12 metros de largo. Colocando la esquina inferior izquierda del muro en el origen de coordenadas, se va a utilizar la curva f(x) = cos(πx/9) + 2 para diferenciar dos regiones del muro que serán pintadas con dos colores distintos. Se sabe que con un bote de spray se pueden pintar 3 metros cuadrados de superficie.
- Madrid 2025 · Ordinaria · incidencias · 2.12,5 puntosSe considera la función real de variable real definida por f(x) = (x² − x − a)/2, a ∈ ℝ.
- Madrid 2025 · Extraordinaria · 3.12,5 puntosConsidere la función real de variable real f(x) = x(x² + a), donde a > 0 es un parámetro real.
- Madrid 2027 · Modelo · 2.22,5 puntosSe considera la función real de variable real definida por la siguiente expresión: f(x) = e³ˣ − x + a si x < 0; f(x) = −x³ + 2x² si x ≥ 0.
- Madrid 2027 · Modelo · 22 puntosSea la función f(x) = (eˣ − 1)/(eˣ + 1).
- Madrid 2027 · Modelo · 5.12 puntosSea la función f(x) definida por f(x) = 2x + 2 si x ∈ [0, 2]; f(x) = ax² + bx si x ∈ (2, 5); f(x) = −(x − 5)² + 15 si x ∈ [5, 7].
- Madrid 2026 · Modelo · 3.12,5 puntosDada la función real de variable real definida por la siguiente expresión: f(x) = (x − 1)/(3 − x) si x < 1; f(x) = (2 − x)/(3 + x) si x ≥ 1.
- Madrid 2026 · Modelo · 22 puntosDada f(x) = (x² + 1)/(|x| + 1), se pide:
- Madrid 2025 · Modelo · 2.12,5 puntosSea la función f(x) = x² − 6x + 11 si x < 2; f(x) = √(5x − 1) si x ≥ 2.
- Madrid 2025 · Modelo · 2.22,5 puntosDada la función f(x) = sen((π/2)x), se pide:
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Preguntas frecuentes
¿Hay que sumar la constante C en una integral definida?
No. Cualquier primitiva sirve: con F(x) + C, la regla de Barrow da (F(b) + C) − (F(a) + C) = F(b) − F(a), y la C se cancela. La constante se escribe en la integral indefinida, la que da la familia de primitivas.
¿Qué diferencia hay entre la integral definida y el área?
La integral definida cuenta con signo: lo que queda por encima del eje suma y lo que queda por debajo resta. El área nunca es negativa. Solo coinciden si f ≥ 0 en todo el intervalo; si cambia de signo, hay que partir en los cortes con el eje y sumar los valores absolutos de cada tramo.
¿Cómo se calcula el área entre dos curvas?
Igual, pero con la diferencia de las dos funciones. Si el recinto lo cierran solo las dos curvas, iguala f(x) = g(x): los cortes son los límites de integración. Si también lo limitan las rectas x = a y x = b, integra entre a y b y busca los cortes que haya dentro, que es donde se parte el intervalo. En cada tramo integra la de arriba menos la de abajo, o toma el valor absoluto de ∫(f − g), y suma. Para el área entre una curva y el eje, g es la función nula.
¿Y si la función está definida a trozos?
Parte la integral en los puntos donde cambia la expresión y aplica Barrow en cada trozo con su fórmula. Si en un punto de unión hay un salto finito, la integral sigue existiendo y se calcula igual, porque el valor en un punto aislado no cambia la integral. Lo que no se puede es aplicar Barrow de un lado a otro de una asíntota vertical.
¿Qué ejercicios de la PAU puedo practicar?
Los 20 ejercicios resueltos de esta página: la 2.1 de la ordinaria de 2026 de Matemáticas CCSS II (Madrid), la 5.1 de la ordinaria de 2026 de Matemáticas II (Madrid), la 3.1 de la ordinaria · incidencias de 2026 de Matemáticas CCSS II (Madrid), la 2 de la ordinaria · incidencias de 2026 de Matemáticas II (Madrid), la 4.2 de la extraordinaria de 2026 de Matemáticas CCSS II (Madrid) y la 2 de la extraordinaria de 2026 de Matemáticas II (Madrid) y otros. Cada uno enlaza a su enunciado oficial, los criterios del tribunal y la solución paso a paso.
Fuente
Explicación de elaboración propia, verificada y actualizada el 18 de octubre de 2026. Los ejercicios son de exámenes oficiales de la PAU: cada uno cita su fuente y sus criterios.