Pregunta 5.1: integral de sen(x)/√(1 + cos(x)) y simetría

Lo que puntúa el tribunalva copiado tal cual. Donde pone «reparto editorial», el tribunal no desglosa los puntos y el reparto es nuestro. Explicación del equipo de Aprueba tu Selectividad, verificada el 21 de octubre de 2026.

1. 01

   a · Halla una primitiva de f

   Desarrollo y cálculos del resto del apartado (primitiva de f)1

   Fíjate en que el numerador es casi la derivada de lo que hay dentro de la raíz: si u = 1 + cos x, entonces du = −sen x dx, es decir, sen x dx = −du. La integral pasa a ser −∫ u^(−1/2) du = −2√u, y deshaciendo el cambio, F(x) = −2√(1 + cos x). Compruébalo derivando: F′(x) = −2 · (−sen x)/(2√(1 + cos x)) = sen x/√(1 + cos x) = f(x).

   $$\int \frac{\mathrm{sen}x}{\sqrt{1+\cos x}}dx\stackrel{u=1+\cos x}{=}-\int u^{-1/2}du=-2\sqrt{u}+C=-2\sqrt{1+\cos x}+C$$
2. 02

   a · Aplica la regla de Barrow

   Aplicar la regla de Barrow0,5

   Evalúa la primitiva en los extremos: F(π) = −2√(1 + cos π) = −2√0 = 0 y F(0) = −2√(1 + 1) = −2√2. Restando, ∫₀^π f(x) dx = 0 − (−2√2) = 2√2 ≈ 2,83. Aunque π no está en el dominio, f tiende a √2 cuando x → π⁻ y F es continua en [0, π], así que la integral existe y Barrow vale. El resultado es positivo, como debe ser: en (0, π) el seno es positivo y f > 0.

   $${\int }_0^{\pi }f(x)dx=[-2\sqrt{1+\cos x}{]}_0^{\pi }=0-(-2\sqrt{2})=2\sqrt{2}$$
3. 03

   b · Estudia la simetría de f

   Estudiar la simetría de f0,25

   Primero, el dominio (−π, π) es simétrico respecto de 0, así que tiene sentido calcular f(−x). Como el seno es impar y el coseno par, f(−x) = sen(−x)/√(1 + cos(−x)) = −sen x/√(1 + cos x) = −f(x). Por tanto f es impar: su gráfica es simétrica respecto del origen.

   $$f(-x)=\frac{\mathrm{sen}(-x)}{\sqrt{1+\cos (-x)}}=\frac{-\mathrm{sen}x}{\sqrt{1+\cos x}}=-f(x)$$
4. 04

   b · Deduce la integral entre −π y π

   Desarrollo del resto del apartado (valor de la integral deducido de la simetría)0,25

   Parte la integral en 0. Por ser f impar, el área que queda bajo el eje en (−π, 0) es igual a la que queda sobre él en (0, π): ∫_(−π)^0 f(x) dx = −∫₀^π f(x) dx = −2√2. Sumando, ∫_(−π)^π f(x) dx = −2√2 + 2√2 = 0. El enunciado pide deducirlo de la simetría: no hace falta volver a aplicar Barrow, pero sí decir que es porque f es impar y el intervalo es simétrico.

   $${\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)dx={\int }_{-\pi }^{0}f(x)dx+{\int }_0^{\pi }f(x)dx=-2\sqrt{2}+2\sqrt{2}=0$$