Pregunta 2: puntos de una recta que forman un tetraedro de volumen dado

Lo que puntúa el tribunalva copiado tal cual. Donde pone «reparto editorial», el tribunal no desglosa los puntos y el reparto es nuestro. Explicación del equipo de Aprueba tu Selectividad, verificada el 21 de octubre de 2026.

1. 01

   Plantea el volumen con un punto genérico de la recta

   Plantear correctamente la ecuación (volumen del tetraedro igual a 2/3 con un punto genérico de r)1,5

   De 2x − y = 0 y y − z = 0 sale y = 2x y z = y = 2x; con x = λ, el punto genérico de r es P(λ, 2λ, 2λ). Toma los vectores AB = (1, −2, 1), AC = (−1, 0, 1) y AP = (λ − 1, 2λ − 2, 2λ). El volumen del tetraedro es la sexta parte del valor absoluto del producto mixto, y el determinante de esos tres vectores vale 6 − 10λ. La ecuación es |6 − 10λ|/6 = 2/3.

   $$[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AP}]=\left|\begin{array}{ccc}1& -2& 1\\ -1& 0& 1\\ \lambda -1& 2\lambda -2& 2\lambda \end{array}\right|=6-10\lambda$$

   $$V=\frac{1}{6}\left|[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AP}]\right|=\frac{|6-10\lambda |}{6}=\frac{2}{3}$$
2. 02

   Resuelve el valor absoluto y obtén los dos puntos

   Resolución de la ecuación y obtención de los puntos de r0,5

   |6 − 10λ| = 4 tiene dos casos: 6 − 10λ = 4, que da λ = 1/5, y 6 − 10λ = −4, que da λ = 1. Sustituye en P(λ, 2λ, 2λ): P₁(1, 2, 2) y P₂(1/5, 2/5, 2/5). Comprobación: con λ = 1 el determinante vale −4 y con λ = 1/5 vale 4; en los dos casos, 4/6 = 2/3.

   $$|6-10\lambda |=4\Rightarrow \lambda =\frac{1}{5}\text{ o }\lambda =1$$