PAU de Andalucía · modelo 2027 · Ejercicio 4.1
Pregunta 4.1: matriz cuyo cuadrado es 4I y ecuación matricial
Matemáticas II · 2 puntos · A elegir: 4.1 o 4.2Solución verificada
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Pregunta 4.1
Sean las matrices A y B. A se muestra en la tabla siguiente. La matriz B tiene, en este orden, las filas (1, 1), (−1, 2) y (1, 1).
- a)Determina a y b para que A² = 4I, donde I es la matriz identidad de orden 2. (1,25 p)
- b)Para a = −1 y b = 1, calcula, si es posible, la matriz X que cumple A²X = Bᵗ. (0,75 p)
Fuente: Junta de Andalucía · PAU 2027 · Directrices y orientaciones con modelo de prueba · Matemáticas II.
Examen oficial en PDF (juntadeandalucia.es)Si te atascas
Pista 1 · ¿Cómo se calcula A²?
En a), calcula A² multiplicando filas por columnas e iguala cada elemento al de 4I: los valores que encuentres tienen que cumplir todas las ecuaciones.
Pista 2 · ¿Qué vale A² con esos valores?
En b), mira qué vale A² con esos valores antes de despejar X, y despeja multiplicando por la inversa por el lado correcto.
Dónde están los 2 puntos
- Ecuación que da el elemento (1, 1) de A² = 4I0,25
- Ecuación que da el elemento de A² = 4I3 × 0,25
- Desarrollo y cálculos del resto del apartado (valores de a y b) · reparto editorial0,25
- Resolver simbólicamente X0,5
- Desarrollo y cálculos del resto del apartado (cálculo de X) · reparto editorial0,25
Lo que puntúa el tribunal, copiado tal cual, está en la solución. Los puntos de reparto editorial los repartimos nosotros: el tribunal no los desglosa.
Solución paso a paso
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El resultado
- a)a = −1 y b = 1: A² = (a² + 3b, 3a + 3; ab + b, 3b + 1) y, al igualarla a 4I, 3a + 3 = 0 y 3b + 1 = 4.
- b)X = ¼·Bᵗ = (1/4 −1/4 1/4; 1/4 1/2 1/4): con esos valores A² = 4I, que es invertible, y X = (A²)⁻¹Bᵗ.
Lo que puntúa el tribunalva copiado tal cual. Donde pone «reparto editorial», el tribunal no desglosa los puntos y el reparto es nuestro. Explicación del equipo de Aprueba tu Selectividad, verificada el 21 de octubre de 2026.
- 01
a · Calcula A² e iguala sus cuatro elementos a los de 4I
Ecuación que da el elemento (1, 1) de A² = 4I · Ecuación que da el elemento (1, 2) de A² = 4I · Ecuación que da el elemento (2, 1) de A² = 4I · Ecuación que da el elemento (2, 2) de A² = 4I1Multiplica A por A filas por columnas: el elemento (1, 1) es a·a + 3·b, el (1, 2) es a·3 + 3·1, el (2, 1) es b·a + 1·b y el (2, 2) es b·3 + 1·1. La matriz 4I tiene 4 en la diagonal y 0 fuera. Igualando elemento a elemento salen cuatro ecuaciones: a² + 3b = 4, 3a + 3 = 0, ab + b = 0 y 3b + 1 = 4.
- 02
a · Resuelve el sistema y comprueba las cuatro ecuaciones
Desarrollo y cálculos del resto del apartado (valores de a y b)0,25Empieza por las ecuaciones de una sola incógnita: 3a + 3 = 0 da a = −1 y 3b + 1 = 4 da b = 1. Son cuatro ecuaciones para dos incógnitas, así que comprueba las otras dos: a² + 3b = 1 + 3 = 4 y ab + b = b(a + 1) = 0. Las cumplen, de modo que a = −1 y b = 1 es la única solución.
- 03
b · Despeja X de forma simbólica
Resolver simbólicamente X0,5Con a = −1 y b = 1 se da el caso del apartado a): A² = 4I, cuyo determinante es 16 ≠ 0, así que A² es invertible y (A²)⁻¹ = ¼·I. Multiplica por (A²)⁻¹ por la izquierda en los dos miembros: X = (A²)⁻¹Bᵗ = ¼·Bᵗ. Por eso sí es posible, y X es 2 × 3 porque A² es 2 × 2 y Bᵗ es 2 × 3.
- 04
b · Calcula la matriz X
Desarrollo y cálculos del resto del apartado (cálculo de X)0,25Bᵗ se obtiene poniendo las filas de B como columnas: sus filas son (1, −1, 1) y (1, 2, 1). Multiplica cada elemento por ¼. Comprueba que 4X da otra vez Bᵗ, que es justo A²X con A² = 4I.
Criterio general: Los ejercicios deben realizarse expresando de forma razonada el proceso seguido en la resolución de un problema, con el rigor y la precisión necesarios; usando el lenguaje, la notación y los símbolos matemáticos adecuados al contexto; utilizando argumentos, justificaciones, explicaciones y razonamientos explícitos y coherentes; valorándose el grado de cumplimiento con un máximo de 0,2 puntos en cada ejercicio. Esos 0,2 puntos, para la expresión correcta de los procesos y métodos utilizados, están contemplados en los 2 puntos de cada ejercicio.
Error típico
Elevar al cuadrado cada elemento de A
Lo que se suele escribir: A² = (a², 9; b², 1). Lo correcto: A² = (a² + 3b, 3a + 3; ab + b, 3b + 1)
Un error frecuente es calcular A² elevando al cuadrado cada elemento, como si fuera una tabla de números. Así sale 9 en el lugar (1, 2), que nunca puede valer 0, y el sistema no tiene solución: pierdes los puntos de las cuatro ecuaciones. El cuadrado de una matriz es el producto A·A, filas por columnas.
Cuesta los puntos de «ecuación que da el elemento (1, 1) de A² = 4I»: 0,25 puntos de 2.
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Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Andalucía?
2 puntos de 10. Bloque con optatividad 1: eliges una de dos opciones, la 4.1 o la 4.2.
¿La solución es oficial?
No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de Andalucía. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada. Donde los criterios no desglosan los puntos, el reparto es nuestro y lo marcamos como reparto editorial.
¿Esta pregunta salió en la PAU?
No. Es del modelo de examen 2027 que publican las universidades para preparar la prueba: es un modelo, no una convocatoria celebrada.
¿Dónde está el enunciado original?
En el PDF oficial (juntadeandalucia.es): el enunciado en la página 9 y los criterios de corrección en la página 10.
Fuente
Junta de Andalucía · PAU 2027 · Directrices y orientaciones con modelo de prueba · Matemáticas II. Publicado en juntadeandalucia.es, consultado el 21 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales. Explicación del equipo de Aprueba tu Selectividad, verificada el 21 de octubre de 2026.