Saltar al contenido
Aprueba tu Selectividad
Andalucía modelo 2027 · Matemáticas II

PAU de Andalucía · modelo 2027 · Ejercicio 3

Pregunta 3: parámetros de un límite con la regla de L’Hôpital

Matemáticas II · 2 puntos · ObligatoriaSolución verificada

¿Estudias otra asignatura o eres de otra comunidad? ¿Otra asignatura u otra comunidad? Te avisamos

Pregunta 3

PAU Andalucía modelo 2027Análisis2 puntos

Calcula a y b sabiendo que lím_(x→0) (ax² + bx + 1 − e²ˣ)/sen(x²) = 1.

Fuente: Junta de Andalucía · PAU 2027 · Directrices y orientaciones con modelo de prueba · Matemáticas II.

Examen oficial en PDF (juntadeandalucia.es)

Si te atascas

Pista 1 · ¿De qué tipo es el límite en x = 0?

Sustituye x = 0 para ver de qué tipo es el límite y, al derivar, hazlo con el numerador y el denominador por separado sin olvidar la regla de la cadena.

Pista 2 · ¿Y si el denominador sigue tendiendo a 0?

Si después de derivar una vez el denominador sigue tendiendo a 0, piensa qué tiene que valer el numerador para que el límite pueda ser 1.

Dónde están los 2 puntos

  1. Comprobar que el límite es una indeterminación0,25
  2. Primera aplicación de la regla de L’Hôpital0,5
  3. Cálculo de b de forma justificada0,25
  4. Desarrollo y cálculos del resto del ejercicio (cálculo de a) · reparto editorial1

Lo que puntúa el tribunal, copiado tal cual, está en la solución. Los puntos de reparto editorial los repartimos nosotros: el tribunal no los desglosa.

Empieza a estudiar · muy pronto

Solución paso a paso

VerOcultar

El resultado

a = 3 y b = 2. El límite es 0/0; con una primera aplicación de L’Hôpital queda (b − 2)/0, así que b = 2 para que sea finito, y una segunda da (2a − 4)/2 = a − 2 = 1.

Lo que puntúa el tribunalva copiado tal cual. Donde pone «reparto editorial», el tribunal no desglosa los puntos y el reparto es nuestro. Explicación del equipo de Aprueba tu Selectividad, verificada el 21 de octubre de 2026.

  1. 01

    Comprueba que el límite es 0/0

    Comprobar que el límite es una indeterminación    0,25

    Sustituye x = 0: el numerador vale a·0 + b·0 + 1 − e⁰ = 0 y el denominador, sen 0 = 0. El límite es de la forma 0/0 sean cuales sean a y b. Escríbelo en el folio: es lo que te permite aplicar la regla de L’Hôpital en el paso siguiente.

  2. 02

    Aplica una vez la regla de L’Hôpital

    Primera aplicación de la regla de L’Hôpital    0,5

    Deriva por separado el numerador y el denominador, no el cociente. La derivada de e²ˣ es 2e²ˣ y la de sen(x²) es 2x·cos(x²): en los dos casos la regla de la cadena multiplica por la derivada de lo de dentro. El límite pasa a ser el del nuevo cociente.

    limx→0⁡ax2+bx+1−e2xsen⁡(x2)=limx→0⁡2ax+b−2e2x2xcos⁡(x2)
  3. 03

    Deduce el valor de b

    Cálculo de b de forma justificada    0,25

    En x = 0, el nuevo numerador tiende a b − 2 y el denominador, 2·0·cos 0, a 0. Si b − 2 ≠ 0, el cociente sería del tipo k/0 y el límite sería infinito o no existiría, nunca 1. Por tanto b − 2 = 0 y b = 2. Con ese valor el numerador también tiende a 0 y vuelve a salir 0/0.

  4. 04

    Aplica otra vez L’Hôpital y despeja a

    Desarrollo y cálculos del resto del ejercicio (cálculo de a)    1

    Con b = 2, deriva de nuevo: el numerador da 2a − 4e²ˣ y el denominador, por la regla del producto, 2cos(x²) − 4x²·sen(x²). En x = 0 el cociente vale (2a − 4)/2 = a − 2, y al igualarlo a 1 sale a = 3. Comprueba con el desarrollo de e²ˣ ≈ 1 + 2x + 2x²: el numerador queda ≈ 3x² + 2x + 1 − 1 − 2x − 2x² = x², y como sen(x²) ≈ x², el límite es 1.

    limx→0⁡2ax+2−2e2x2xcos⁡(x2)=limx→0⁡2a−4e2x2cos⁡(x2)−4x2sen⁡(x2)=2a−42
    a−2=1⟹a=3

Criterio general: Los ejercicios deben realizarse expresando de forma razonada el proceso seguido en la resolución de un problema, con el rigor y la precisión necesarios; usando el lenguaje, la notación y los símbolos matemáticos adecuados al contexto; utilizando argumentos, justificaciones, explicaciones y razonamientos explícitos y coherentes; valorándose el grado de cumplimiento con un máximo de 0,2 puntos en cada ejercicio. Esos 0,2 puntos, para la expresión correcta de los procesos y métodos utilizados, están contemplados en los 2 puntos de cada ejercicio.

Error típico

Derivar sen(x²) sin la regla de la cadena

Lo que se suele escribir: (sen(x²))′ = cos(x²). Lo correcto: (sen(x²))′ = 2x·cos(x²)

Al aplicar L’Hôpital es habitual derivar sen(x²) como cos(x²), sin la regla de la cadena. Entonces el denominador ya no tiende a 0, el límite sale b − 2 y se concluye b = 3 sin poder calcular a: pierdes la primera aplicación de L’Hôpital y todo lo que viene detrás. La derivada de sen(u) es u′·cos(u), y aquí u = x² tiene derivada 2x.

Cuesta los puntos de «primera aplicación de la regla de L’Hôpital»: 0,5 puntos de 2.

¿Lo has entendido? Ahora sin mirar

Empieza a estudiar · muy pronto
Pregunta 4 de 7: Matriz cuyo cuadrado es 4I y ecuación matricial
¿Hay un error en este ejercicio?Avísanos
¿Dónde está el error?

Lo revisamos y te avisamos si tienes cuenta.

Sigue practicando

Preguntas frecuentes

¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Andalucía?

2 puntos de 10. Es obligatoria: la hace todo el mundo.

¿La solución es oficial?

No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de Andalucía. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada. Donde los criterios no desglosan los puntos, el reparto es nuestro y lo marcamos como reparto editorial.

¿Esta pregunta salió en la PAU?

No. Es del modelo de examen 2027 que publican las universidades para preparar la prueba: es un modelo, no una convocatoria celebrada.

¿Dónde está el enunciado original?

En el PDF oficial (juntadeandalucia.es): el enunciado en la página 8 y los criterios de corrección en la página 10.

Fuente

Junta de Andalucía · PAU 2027 · Directrices y orientaciones con modelo de prueba · Matemáticas II. Publicado en juntadeandalucia.es, consultado el 21 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales. Explicación del equipo de Aprueba tu Selectividad, verificada el 21 de octubre de 2026.