PAU de Andalucía · modelo 2027 · Ejercicio 5.2
Pregunta 5.2: extremos absolutos de una función definida a trozos
Matemáticas II · 2 puntos · A elegir: 5.2 o 5.1Solución verificada
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Pregunta 5.2
Sea f : [0, 3] → ℝ la función definida por f(x) = x² − 2x + 5 si 0 ≤ x ≤ 2; f(x) = x² + 1 si 2 < x ≤ 3. Halla los extremos absolutos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).
Fuente: Junta de Andalucía · PAU 2027 · Directrices y orientaciones con modelo de prueba · Matemáticas II.
Examen oficial en PDF (juntadeandalucia.es)Si te atascas
Pista 1 · ¿Qué pasa donde cambia la fórmula?
Antes de buscar dónde se anula la derivada, estudia qué pasa en el punto donde cambia la fórmula: continuidad y derivadas laterales.
Pista 2 · ¿Dónde más puede haber un extremo?
En un intervalo cerrado, los extremos absolutos no tienen por qué estar donde se anula la derivada: mira también los bordes del intervalo.
Dónde están los 2 puntos
- Estudiar la derivabilidad de f y calcular sus puntos críticos1,5
- Desarrollo y cálculos del resto del ejercicio (extremos absolutos: abscisas y valores) · reparto editorial0,5
Lo que puntúa el tribunal, copiado tal cual, está en la solución. Los puntos de reparto editorial los repartimos nosotros: el tribunal no los desglosa.
Solución paso a paso
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El resultado
El mínimo absoluto es f(1) = 4, en x = 1, y el máximo absoluto es f(3) = 10, en x = 3. f es continua en [0, 3] pero no es derivable en x = 2 (derivadas laterales 2 y 4), y f′ solo se anula en x = 1; se compara f en x = 0, 1, 2 y 3, donde vale 5, 4, 5 y 10.
Lo que puntúa el tribunalva copiado tal cual. Donde pone «reparto editorial», el tribunal no desglosa los puntos y el reparto es nuestro. Explicación del equipo de Aprueba tu Selectividad, verificada el 21 de octubre de 2026.
- 01
Estudia la derivabilidad de f y calcula sus puntos críticos
Estudiar la derivabilidad de f y calcular sus puntos críticos1,5Cada trozo es un polinomio, así que f es derivable en (0, 2) y en (2, 3); queda el punto de unión x = 2. Primero la continuidad: f(2) = 4 − 4 + 5 = 5 y el límite por la derecha es 4 + 1 = 5, luego f es continua en x = 2. Las derivadas laterales son f′(2⁻) = 2·2 − 2 = 2 y f′(2⁺) = 2·2 = 4: no coinciden, así que f no es derivable en x = 2. En (0, 2), f′(x) = 2x − 2 se anula en x = 1; en (2, 3), f′(x) = 2x no se anula. Los puntos críticos son x = 1 (derivada nula) y x = 2 (no derivable).
- 02
Compara f en los puntos críticos y en los bordes del intervalo
Desarrollo y cálculos del resto del ejercicio (extremos absolutos: abscisas y valores)0,5f es continua en el intervalo cerrado [0, 3], así que alcanza un máximo y un mínimo absolutos, y solo pueden estar en los puntos críticos o en los bordes x = 0 y x = 3. Evalúa: f(0) = 5, f(1) = 1 − 2 + 5 = 4, f(2) = 5 y f(3) = 9 + 1 = 10. El mínimo absoluto es 4, en x = 1, y el máximo absoluto es 10, en x = 3.
Criterio general: Los ejercicios deben realizarse expresando de forma razonada el proceso seguido en la resolución de un problema, con el rigor y la precisión necesarios; usando el lenguaje, la notación y los símbolos matemáticos adecuados al contexto; utilizando argumentos, justificaciones, explicaciones y razonamientos explícitos y coherentes; valorándose el grado de cumplimiento con un máximo de 0,2 puntos en cada ejercicio. Esos 0,2 puntos, para la expresión correcta de los procesos y métodos utilizados, están contemplados en los 2 puntos de cada ejercicio.
Error típico
Dar por derivable f en el punto de unión
Lo que se suele escribir: f′(2) = 2. Lo correcto: f′(2⁻) = 2 ≠ f′(2⁺) = 4
Un error frecuente es derivar cada trozo y dar por hecho que f es derivable en x = 2. En el punto de unión compara las derivadas laterales: salen 2 y 4, así que f no es derivable en x = 2 y ese punto es crítico aunque la derivada no se anule. Si lo pasas por alto pierdes puntos de derivabilidad, y si olvidas los bordes del intervalo no encuentras el máximo.
Cuesta los puntos de «estudiar la derivabilidad de f y calcular sus puntos críticos»: 1,5 puntos de 2.
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Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Andalucía?
2 puntos de 10. Bloque con optatividad 2: eliges una de dos opciones, la 5.2 o la 5.1.
¿La solución es oficial?
No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de Andalucía. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada. Donde los criterios no desglosan los puntos, el reparto es nuestro y lo marcamos como reparto editorial.
¿Esta pregunta salió en la PAU?
No. Es del modelo de examen 2027 que publican las universidades para preparar la prueba: es un modelo, no una convocatoria celebrada.
¿Dónde está el enunciado original?
En el PDF oficial (juntadeandalucia.es): el enunciado en la página 9 y los criterios de corrección en la página 10.
Fuente
Junta de Andalucía · PAU 2027 · Directrices y orientaciones con modelo de prueba · Matemáticas II. Publicado en juntadeandalucia.es, consultado el 21 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales. Explicación del equipo de Aprueba tu Selectividad, verificada el 21 de octubre de 2026.