PAU Madrid 2026 · Matemáticas II · Ordinaria
Pregunta 5.2: continuidad, derivabilidad a trozos y recta tangente
En breveOcultar para practicarMostrar el resultado
- a)a = −2, b = 2: la continuidad en x = 0 da b = 2 y la derivabilidad, −a = 2.
- b)La tangente en x = 2 es y = (2e²/25)(x + 3), con f(2) = 2e²/5 y pendiente f′(2) = 2e²/25.
Pregunta 5.2
Sea f(x) = 3x² − sen(ax) + b si x < 0, y f(x) = 2eˣ / (1 + x²) si x ≥ 0.
- a)Calcule los valores de a y b para que la función sea continua y derivable en x = 0. (1 p)
- b)Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa x = 2. (1 p)
Fuente: Universidades públicas de la Comunidad de Madrid — PAU 2025-2026, Matemáticas II, ordinaria. Solución verificada con sus criterios.
Examen oficial en PDF (upm.es)Corregir con foto abre muy pronto
Dónde están los puntos
Así reparte el tribunal 2 puntos.
- 01a) Planteamiento de la continuidad0,3
- 02a) Planteamiento de la derivabilidad0,3
- 03a) Obtención de a y b0,4
- 04b) Punto de tangencia0,2
- 05b) Pendiente de la recta tangente0,4
- 06b) Ecuación de la recta tangente0,4
Criterio general: Aunque el procedimiento sea distinto al de las soluciones tipo, cualquier argumento válido que conduzca a la solución se valora con la puntuación asignada.
Inténtalo primero
Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.
Pista 1 · ¿Qué hay que imponer en x = 0?
En x = 0, iguala primero los límites laterales con f(0) y después las derivadas laterales, sin olvidar la regla de la cadena en sen(ax).
Pista 2 · ¿Qué rama de f usar en x = 2?
En b), x = 2 cae en la rama de x ≥ 0: necesitas f(2) y f′(2) para la ecuación punto-pendiente.
Míralo en movimiento
Una figura interactiva de este ejercicio. Muévela antes o después de resolverlo.
Solución paso a paso
Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.
01a · Plantea la continuidad en x = 0Tribunal: planteamiento de la continuidad0,3
Cada rama es continua en su intervalo: la izquierda es un polinomio menos un seno, y la derecha es un cociente de funciones continuas cuyo denominador, 1 + x², nunca se anula. Solo hay que estudiar x = 0, donde deben coincidir los dos límites laterales y el valor de la función. Por la izquierda, 3x² − sen(ax) + b tiende a b; por la derecha, 2eˣ/(1 + x²) tiende a 2, que es también f(0) = 2e⁰/(1 + 0²). La condición de continuidad es b = 2.
02a · Plantea la derivabilidad con las derivadas lateralesTribunal: planteamiento de la derivabilidad0,3
Para x < 0, la regla de la cadena da f′(x) = 6x − a cos(ax), que tiende a −a cuando x → 0⁻. Para x > 0, la regla del cociente da f′(x) = [2eˣ(1 + x²) − 2eˣ·2x]/(1 + x²)² = 2eˣ(x − 1)²/(1 + x²)², que tiende a 2 cuando x → 0⁺. Una vez impuesta la continuidad, f es derivable en 0 si las dos derivadas laterales coinciden: −a = 2.
03a · Obtén los valores de a y bTribunal: obtención de a y b0,4
La continuidad ha dado b = 2 y la derivabilidad, −a = 2, de donde a = −2. Por tanto, la pareja pedida es a = −2, b = 2. Comprueba: con a = −2 la rama izquierda es 3x² + sen(2x) + 2, que tiende a 2 cuando x → 0⁻, igual que su derivada, 6x + 2 cos(2x).
04b · Halla el punto de tangenciaTribunal: punto de tangencia0,2
Como 2 > 0, en x = 2 se usa la rama 2eˣ/(1 + x²), así que este apartado no depende de a ni de b. f(2) = 2e²/(1 + 4) = 2e²/5 ≈ 2,96, y el punto de tangencia es (2, 2e²/5).
05b · Calcula la pendiente m = f′(2)Tribunal: pendiente de la recta tangente0,4
La pendiente de la tangente es la derivada en el punto. Usa la expresión simplificada de a), f′(x) = 2eˣ(x − 1)²/(1 + x²)² para x > 0: m = f′(2) = 2e²·(2 − 1)²/(1 + 2²)² = 2e²/25 ≈ 0,59.
06b · Escribe la ecuación de la recta tangenteTribunal: ecuación de la recta tangente0,4
Con la forma punto-pendiente, y − f(2) = f′(2)(x − 2): y − 2e²/5 = (2e²/25)(x − 2). Si la desarrollas, y = (2e²/25)x − 4e²/25 + 10e²/25 = (2e²/25)x + 6e²/25 = (2e²/25)(x + 3). Comprueba: para x = 2 se obtiene (2e²/25)·5 = 2e²/5, la ordenada del punto de tangencia.
Error típico
Olvidar la regla de la cadena al derivar sen(ax)
Lo que se suele escribir: f′(x) = 6x − cos(ax). Lo correcto: f′(x) = 6x − a cos(ax)
Al derivar −sen(ax) se suele escribir −cos(ax), olvidando el factor a de la regla de la cadena: la derivada lateral en 0 sale −1, la condición −1 = 2 es imposible y parece que ningún a sirve. La derivada correcta es −a cos(ax), que en x = 0 vale −a. Cuida también el signo: con a = −2 la rama queda 3x² + sen(2x) + 2.
Cuesta los puntos de «planteamiento de la derivabilidad»: 0,3 puntos de 2.
Márcate con los criterios del tribunal
Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.
¿Hay un error en este ejercicio?Avísanos
Sigue practicando
Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?
2 puntos de 10. En la pregunta 5 eliges una de dos opciones: la 5.2 o la 5.1.
¿Me lo puntúan si lo hago de otra forma?
Sí. Según los criterios generales del examen: «Aunque el procedimiento sea distinto al de las soluciones tipo, cualquier argumento válido que conduzca a la solución se valora con la puntuación asignada.»
¿La solución es oficial?
No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.
¿Dónde está el enunciado original?
En el PDF oficial (upm.es): el enunciado en la página 2 y los criterios de corrección en la página 4.
Fuente
Universidades públicas de la Comunidad de Madrid — PAU 2025-2026, Matemáticas II, ordinaria. Publicado en upm.es, consultado el 15 de septiembre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.